Существенный супремум

Существенный супремум — это аналог супремума, более подходящий для нужд функционального анализа. В этой науке обычно не интересуются тем, что происходит на множестве меры нуль, что учитывается в определении.

Определение

Существенный супремум $\mathrm {ess} \sup$ или $\mathrm {vrai} \sup$ функции $f:X\to \mathbb {R}$ — это нижняя грань множества таких чисел $a$, что

$f(x)\leq a,~~x\in X$

почти всюду. Другими словами,

$\mathrm {ess} \sup f=\inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)>a\})=0\}\,,$

где $\mu$ — мера на множестве $X$. Аналогичным образом определяется существенный инфимум:

$\mathrm {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}$

Примеры

Пусть на прямой задана мера Лебега и соответствующая σ-алгебра Σ. Определим функцию $f$ следующим образом

$f(x)={\begin{cases}5,&x=1\\-4,&x=-1\\2,&x\in \mathbb {R} \backslash \{-1,1\}\\\end{cases}}$

Супремум данной функции есть число 5, а инфимум есть −4. Однако функция $f$ принимает эти значения только на множествах нулевой меры $\{1\}$ и $\{-1\}$ соответственно. Таким образом, почти всюду (по мере Лебега) данная функция равна 2, откуда вытекает, что существенный супремум и существенный инфимум $f$ совпадают и равны 2.

В качестве другого примера возьмём функцию

$f(x)={\begin{cases}x^{3},&x\in \mathbb {Q} \\\arctan {x},&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \\\end{cases}}$

где $\mathbb {Q}$ обозначает множество рациональных чисел. Данная функция неограничена как сверху, так и снизу, поэтому её супремум и инфимум равны $\infty$ и $-\infty$ соответственно. Однако с точки зрения меры Лебега, множество рациональных чисел имеет меру нуль; для функционального анализа значение имеет то, что происходит на дополнении этого множества, где функция совпадает с $\arctan x$. Следовательно, существенный супремум в данном случае есть $\pi /2$, а существенный инфимум есть $-\pi /2$.

Наконец, положим функцию $f(x)=x^{3}$ определённой для всех вещественных $x$. Её существенный супремум есть $+\infty$, а существенный инфимум $-\infty$.

Свойства

• $\inf f\leqslant \mathrm {ess} \inf f\leqslant \mathrm {ess} \sup f\leqslant \sup f$
• $\mathrm {ess} \sup(f\cdot g)\leqslant (\mathrm {ess} \sup f)\cdot (\mathrm {ess} \sup g)$ когда оба сомножителя в правой части неотрицательны.

Применение

Существенный супремум применяется для определения нормы на пространстве измеримых ограниченных почти всюду (существенно ограниченных) функций (с отождествлением функций, различающихся на множестве меры нуль). На этом пространстве определяется норма $\|f\|=\mathrm {ess} \sup |f|$ .Такое пространство с введённой нормой называют пространством L^∞.

Ссылки

• Существенный супремум (англ.) на сайте PlanetMath.