Существенный супремум

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Существенный супремум — это аналог супремума, более подходящий для нужд функционального анализа. В этой науке обычно не интересуются тем, что происходит на множестве меры нуль, что учитывается в определении.

Определение[править | править вики-текст]

Существенный супремум или функции  — это нижняя грань множества таких чисел , что

почти всюду. Другими словами,

где  — мера на множестве . Аналогичным образом определяется существенный инфимум:

Примеры[править | править вики-текст]

Пусть на прямой задана мера Лебега и соответствующая σ-алгебра Σ. Определим функцию f следующим образом


Супремум данной функции есть число 5, а инфимум есть −4. Однако функция f принимает эти значения только на множествах нулевой меры {1} и {−1} соответственно. Таким образом, почти всюду (по мере Лебега) данная функция равна 2, откуда вытекает, что существенный супремум и существенный инфимум f совпадают и равны 2.

В качестве другого примера возьмём функцию

где Q обозначает множество рациональных чисел. Данная функция неограничена как сверху, так и снизу, поэтому её супремум и инфимум равны ∞ и −∞ соответственно. Однако с точки зрения меры Лебега, множество рациональных чисел имеет меру нуль; для функционального анализа значение имеет то, что происходит на дополнении этого множества, где функция совпадает с arctgx. Следовательно, существенный супремум в данном случае есть π/2, а существенный инфимум есть /2.

Наконец, положим функцию f(x) = x3 определённой для всех вещественных x. Её существенный супремум есть +∞, а существенный инфимум −∞.

Свойства[править | править вики-текст]

  • когда оба сомножителя в правой части неотрицательны.

Применение[править | править вики-текст]

Существенный супремум применяется для определения нормы на пространстве измеримых ограниченных почти всюду функций (с отождествлением функций, различающихся на множестве меры нуль). На этом пространстве определяется норма .Такое пространство с введённой нормой называют пространством L.

Ссылки[править | править вики-текст]