Существенный супремум

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Существенный супремум — это аналог супремума, более подходящий для нужд функционального анализа. В этой науке обычно не интересуются тем, что происходит на множестве меры нуль, что учитывается в определении.

Определение[править | править код]

Существенный супремум или функции  — это нижняя грань множества таких чисел , что

почти всюду. Другими словами,

где  — мера на множестве . Аналогичным образом определяется существенный инфимум:

Примеры[править | править код]

Пусть на прямой задана мера Лебега и соответствующая σ-алгебра Σ. Определим функцию следующим образом


Супремум данной функции есть число 5, а инфимум есть −4. Однако функция принимает эти значения только на множествах нулевой меры и соответственно. Таким образом, почти всюду (по мере Лебега) данная функция равна 2, откуда вытекает, что существенный супремум и существенный инфимум совпадают и равны 2.

В качестве другого примера возьмём функцию

где обозначает множество рациональных чисел. Данная функция неограничена как сверху, так и снизу, поэтому её супремум и инфимум равны и соответственно. Однако с точки зрения меры Лебега, множество рациональных чисел имеет меру нуль; для функционального анализа значение имеет то, что происходит на дополнении этого множества, где функция совпадает с . Следовательно, существенный супремум в данном случае есть , а существенный инфимум есть .

Наконец, положим функцию определённой для всех вещественных . Её существенный супремум есть , а существенный инфимум .

Свойства[править | править код]

  • когда оба сомножителя в правой части неотрицательны.

Применение[править | править код]

Существенный супремум применяется для определения нормы на пространстве измеримых ограниченных почти всюду функций (с отождествлением функций, различающихся на множестве меры нуль). На этом пространстве определяется норма .Такое пространство с введённой нормой называют пространством L.

Ссылки[править | править код]