Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Задачи тысячелетия

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

Уравнения Навье — Стокса[править | править код]

Основная статья: Уравнения Навье — Стокса

Для трёхмерного вектора скорости жидкости и давления уравнения Навье — Стокса записываются так:

,

где  — это кинематическая вязкость,  — плотность,  — внешняя сила,  — оператор набла и  — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как или . Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы как:

,

то для каждого значения получается соответствующее скалярное уравнение:

Неизвестными величинами являются скорость и давление . Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

Начальные условия к уравнениям Навье — Стокса задаются в виде:

,

где  — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности .

Варианты постановки задачи[править | править код]

Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Пусть начальная скорость  — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса и любого существует постоянная (зависящая только от и ) такая, что

для всех

Пусть внешняя сила  — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):

для всех

Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при . Требуется выполнение следующих условий:

  1. Существует постоянная такая, что для всех .

Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.

Требуется доказать одно из двух утверждений:

  • существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в : для и любого начального условия , удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости и поле давления , удовлетворяющее условиям 1 и 2;
  • несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в : существуют начальное условие и внешняя сила такие, что не существует решений и , удовлетворяющих условиям 1 и 2.

Попытки решения[править | править код]

10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждал, что дал полное решение проблемы[1], проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке[2][3]. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям[4]. В 2014 году была найдена серьёзная ошибка в доказательстве, которую признал автор[5].

Примечания[править | править код]

  1. Мухтарбай Отелбаев. Существование сильного решения уравнения Навье - Стокса (рус.) // Математический журнал. — 2013. — Т. 13, № 4 (50). — С. 5—104. — ISSN 1682-0525. Архивировано 17 августа 2014 года.: В работе дано решение шестой проблемы тысячелетия: доказаны существование и единственность сильного решения трёхмерной задачи Навье — Стокса с периодическими краевыми условиями по пространственным переменным
  2. Liz Klimas. Math Problem Worth $1M May Be Solved, but There’s Still One Issue… (англ.) (недоступная ссылка). The Blaze[en] (22 January 2014). — «The current issue with Otelbayev‘s paper is that it’s written in Russian.». Дата обращения: 23 января 2014. Архивировано 23 января 2014 года.
  3. Jacob Aron, Katia Moskvitch. Kazakh mathematician may have solved $1 million puzzle (англ.). New Scientist (22 January 2014). Дата обращения: 24 января 2014.
  4. Уравнение - налево! (6 февраля 2014). Дата обращения: 12 февраля 2014.
  5. Fiendish million-dollar proof eludes mathematicians

Литература[править | править код]

  • P. G. Lemarie-Rieusset. The Navier-Stokes Problem in the 21st Century (англ.). — CRC Press, 2016. — P. 740. — ISBN 1466566213.
  • Giovanni Galdi. An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations: Steady-State Problems (англ.). — Springer, 2011. — P. 1032. — ISBN 0387096191.

Ссылки[править | править код]