Сфера Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости , являющаяся комплексной проективной прямой . Как вещественное дифференцируемое многообразие диффеоморфна двумерной сфере .

Координаты[править | править вики-текст]

Численные координаты на сфере Римана вводятся тремя способами:

  • аффинная комплексная координата z, способная принимать значение ;
  • проективные комплексные координаты ;
  • трёхмерные вещественные координаты , связанные уравнением:
.
Сфера Римана стереографической проекцией переводится на плоскость

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:

задаёт отображение сферы с выколотым полюсом на комплексную плоскость, которое называется стереографической проекцией.

Преобразования Мёбиуса[править | править вики-текст]

Автоморфизмами сферы Римана являются преобразования Мёбиуса. Пусть  — матрица из . Её действие на сфере Римана в терминах проективных комплексных координат — просто умножение вектора-столбца координат на матрицу. В аффинных координатах действие выглядит так:

Приложения[править | править вики-текст]

Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.

В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха (англ. Bloch sphere) и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. (см. рис.)

Blochsphere.svg

В таком случае верны соотношения:

В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.

Внутренность сферы[править | править вики-текст]

Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3 а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.

Ссылки[править | править вики-текст]