Сферическая система координат — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами
, где
— расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а
и
— зенитный и азимутальный углы соответственно.
Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.
Рис. 1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты
Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы
, фундаментальной плоскостью будет плоскость
, зенитным углом точки, заданной радиус-вектором
, будет угол между
и осью
, а азимутом — угол между проекцией
на плоскость
и осью
. Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.
Положение точки
в сферической системе координат определяется тройкой
, где
— расстояние от начала координат до заданной точки
.
— угол между осью
и отрезком, соединяющим начало координат и точку
.
— угол между осью
и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой
, на плоскость
(см. рис. 1).
Угол
называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, или коширотой, а угол
— азимутальным. Углы
и
не определены при
, также не определён угол
при
(то есть при
или
).
Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла
, используется угол между радиус-вектором точки
и плоскостью
, равный
. Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой
. Широта может изменяться в пределах
. При этом соглашении углы
и
не имеют значения при
, так же как и в первом случае, а
не имеет значения при
(то есть при
или
).
Переход к другим системам координат[править | править код]
Если заданы сферические координаты точки
, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

Обратно, от декартовых к сферическим:

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

Обратно от цилиндрических к сферическим:

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим
.
Вектор
, проведённый из точки
в точку
, равен

где



ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения
, соответственно, а
— единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:


- Квадрат дифференциала длины дуги:





Остальные равны нулю.
Математическое моделирование Земли[править | править код]
Сферическая географическая система координат[править | править код]
Сферическая географическая система координат строится следующим образом[1]:
- её начало помещено в центр Земли;
- полярная ось направлена по оси вращения Земли;
- координата
отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
- полярный угол
есть коширота (дополнение географической широты до
);
- азимутальный угол
совпадает с географической долготой (восточной).
Вектор магнитной индукции магнитного поля Земли
имеет компоненты

где
— магнитное наклонение;
— магнитное склонение.
Компоненты вектора ускорения свободного падения
равны

Наконец, компоненты вектора угловой скорости вращения Земли
такие:

В сферических географических координатах оптимально решать уравнения, описывающие поведение нейтральных частиц околоземного пространства[1].
Сферическая геомагнитная система координат[править | править код]
Сферическая геомагнитная система координат строится следующим образом[1]:
- её начало помещено в центр Земли;
- полярная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса;
- координата
отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
- полярный угол
есть геомагнитная коширота (дополнение магнитной широты
до
);
- азимутальный угол
совпадает с геомагнитной долготой, отсчитываемой к востоку от плоскости в западном полушарии, содержащей географический и геомагнитный полюсы.
Географические координаты северного магнитного полюса равны

В сферической геомагнитной системе координат склонение
и





Формулы, связывающие географические и геомагнитные сферические координаты[1]:




В сферических геомагнитных координатах проще, чем в сферических географических координатах, описывать влияние геомагнитного поля на заряженные частицы околоземного пространства[1].
- ↑ 1 2 3 4 5 Брюнелли Б. Е., Намгаладзе А. А. Физика ионосферы. М.: Наука, 1988. § 3.5, С. 172—173. ISBN 5-02-000716-1
 |
---|
Название координат | |
---|
Типы систем координат | |
---|
Двумерные координаты | |
---|
Трёхмерные координаты | |
---|
-мерные координаты | |
---|
Физические координаты | |
---|
Связанные определения | |
---|