Сферическая система координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Сферическая система координат — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами , где  — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а и  — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис.1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы , фундаментальной плоскостью будет плоскость , зенитным углом точки, заданной радиус-вектором , будет угол между и осью , а азимутом — угол между проекцией на плоскость и осью . Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.

Определения[править | править код]

Положение точки в сферической системе координат определяется тройкой , где

  •  — расстояние от начала координат до заданной точки .
  •  — угол между осью и отрезком, соединяющим начало координат и точку .
  •  — угол между осью и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой , на плоскость (см. рис. 1).

Угол называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, а угол  — азимутальным. Углы и не определены при , также не определён угол при (то есть при или ).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла , используется угол между радиус-вектором точки и плоскостью , равный . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой . Широта может изменяться в пределах . При этом соглашении углы и не имеют значения при , так же как и в первом случае, а не имеет значения при (то есть при или ).

Переход к другим системам координат[править | править код]

Декартова система координат[править | править код]

Если заданы сферические координаты точки , то переход к декартовым осуществляется по формулам:

Обратно, от декартовых к сферическим:

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

Цилиндрическая система координат[править | править код]

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

Обратно от цилиндрических к сферическим:

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим .

Дифференциальные характеристики[править | править код]

Вектор , проведённый из точки в точку , равен

где

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения , соответственно, а  — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

  • Квадрат дифференциала длины дуги:

Остальные равны нулю.

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]