Сферическая система координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат (см. рисунок):

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где  — кратчайшее расстояние до начала координат, а и  — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Определения[править | править вики-текст]

Три координаты определены как:

  •  — расстояние от начала координат до заданной точки .
  •  — угол между осью и отрезком, соединяющим начало координат и точку .
  •  — угол между осью и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой , на плоскость (в некоторых случаях углы и меняются ролями https://en.wikipedia.org/wiki/File:3D_Spherical_2.svg).

Угол называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол  — азимутальным. Углы и не имеют значения при , а не имеет значения при (то есть при или ).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11ruen). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла , используется угол между радиус-вектором точки r и плоскостью xy, равный  — . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой . Широта может изменяться в пределах . При этом соглашении углы и не имеют значения при , так же как и в первом случае, а не имеет значения при (то есть при или ).

Переход к другим системам координат[править | править вики-текст]

Декартова система координат[править | править вики-текст]

Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

Обратно, от декартовых к сферическим:

(здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты ).

Якобиан преобразования от декартовых к сферическим будет равен:

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

Цилиндрическая система координат[править | править вики-текст]

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

Обратно от цилиндрических к сферическим:

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:

Дифференциальные характеристики[править | править вики-текст]

Вектор , проведённый из точки в точку , равен

где

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения , соответственно, а  — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

  • Квадрат дифференциала длины дуги:

Остальные равны нулю.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]