Сферическая система координат

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат $(r,\;\theta ,\;\varphi )$, где $r$ — кратчайшее расстояние до начала координат, а $\theta$ и $\varphi$ — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Определения

Три координаты $(r,\;\theta ,\;\varphi )$ определены как:

• $r\geqslant 0$ — расстояние от начала координат до заданной точки $P$.
• $0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ — угол между осью $Z$ и отрезком, соединяющим начало координат и точку $P$.
• $0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ — угол между осью $X$ и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой $P$, на плоскость $XY$ (в некоторых случаях углы $\theta$ и $\varphi$ меняются ролями — см. рис.).

Угол $\theta$ называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол $\varphi$ — азимутальным. Углы $\theta$ и $\varphi$ не имеют значения при $r=0$, а $\varphi$ не имеет значения при $\sin(\theta )=0$ (то есть при $\theta =0$ или $\theta =180^{\circ }$).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла $\theta$, используется угол между радиус-вектором точки r и плоскостью xy, равный $90^{\circ }$ — $\theta$. Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой $\theta$. Широта может изменяться в пределах $-90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$. При этом соглашении углы $\theta$ и $\varphi$ не имеют значения при $r=0$, так же как и в первом случае, а $\varphi$ не имеет значения при $\cos(\theta )=0$ (то есть при $\theta =-90^{\circ }$ или $\theta =90^{\circ }$).

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$

Обратно, от декартовых к сферическим:

${\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos \left({\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right).\end{cases}}$

(здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений $\varphi$ вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты $\theta$).

Якобиан преобразования от декартовых к сферическим будет равен:

$J=r^{2}\sin \theta .\$

Вывод

Переход от декартовых координат к сферическим координатам (x, y, z) к (r, θ, φ):

$x=r\,\sin \theta \,\cos \phi$

$y=r\,\sin \theta \,\sin \phi$

$z=r\,\cos \theta .$

Матрица Якоби имеет следующий вид

${\hat {I}}(r,\theta ,\phi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \phi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\cos \phi &-r\,\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.$

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:$J(r,\theta ,\phi )=\det {\hat {I}}(r,\theta ,\phi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\cos \phi &-r\,\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\phi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

${\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$

Обратно от цилиндрических к сферическим:

${\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\rho }{z}}\right),\\\varphi =\varphi .\end{cases}}$

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:

$J=r.\$

Дифференциальные характеристики

Вектор $\mathrm {d} \mathbf {r}$, проведённый из точки $(r,\theta ,\varphi )$ в точку $(r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )$, равен

$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,$

где

${\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}$

${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}$

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения $r,\theta ,\varphi$, соответственно, а ${\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}$ — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

$g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}$

• $\det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\$
• Квадрат дифференциала длины дуги:

$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.$

• Коэффициенты Ламе:

$H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .$

• Символы Кристоффеля $\{r,\;\theta ,\;\varphi \}$:

$\Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,$

$\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},$

$\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .$

Остальные равны нулю.

См. также

• Углы Эйлера

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.