Сферическая система координат

Сферическая система координат — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами $(r,\;\theta ,\;\varphi )$, где $r$ — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а $\theta$ и $\varphi$ — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис. 1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы $Oxyz$, фундаментальной плоскостью будет плоскость $xy$, зенитным углом точки, заданной радиус-вектором $P$, будет угол между $P$ и осью $z$, а азимутом — угол между проекцией $P$ на плоскость $xy$ и осью $x$. Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.

Определения

Положение точки $P$ в сферической системе координат определяется тройкой $(r,\;\theta ,\;\varphi )$, где

• $r\geqslant 0$ — расстояние от начала координат до заданной точки $P$.
• $0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ — угол между осью $z$ и отрезком, соединяющим начало координат и точку $P$.
• $0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }$ — угол между осью $x$ и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой $P$, на плоскость $xy$ (см. рис. 1).

Угол $\theta$ называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, или коширотой, а угол $\varphi$ — азимутальным. Углы $\theta$ и $\varphi$ не определены при $r=0$, также не определён угол $\varphi$ при $\sin(\theta )=0$ (то есть при $\theta =0$ или $\theta =180^{\circ }$).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла $\theta$, используется угол между радиус-вектором точки $P$ и плоскостью $xy$, равный $90^{\circ }-\theta$. Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой $\theta$. Широта может изменяться в пределах $-90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$. При этом соглашении углы $\theta$ и $\varphi$ не имеют значения при $r=0$, так же как и в первом случае, а $\varphi$ не имеет значения при $\cos(\theta )=0$ (то есть при $\theta =-90^{\circ }$ или $\theta =90^{\circ }$).

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки $(r,\;\theta ,\;\varphi )$, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$

Обратно, от декартовых к сферическим:

${\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}$

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен

${\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{alignedat}}$

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

${\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$

Обратно от цилиндрических к сферическим:

${\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z}},\\\varphi =\varphi .\end{cases}}$

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим $J=r$.

Дифференциальные характеристики

Вектор $\mathrm {d} \mathbf {r}$, проведённый из точки $(r,\theta ,\varphi )$ в точку $(r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )$, равен

$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,$

где

${\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}$

${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}$

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения $r,\theta ,\varphi$, соответственно, а ${\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}$ — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

$g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}$

• $\det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\$
• Квадрат дифференциала длины дуги:

$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.$

• Коэффициенты Ламе:

$H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .$

• Символы Кристоффеля $\{r,\;\theta ,\;\varphi \}$:

$\Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,$

$\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},$

$\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .$

Остальные равны нулю.

Математическое моделирование Земли

Сферическая географическая система координат

Сферическая географическая система координат строится следующим образом:

• её начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси вращения Земли;
• координата $r$ отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол $\theta$ есть коширота (дополнение географической широты до $90^{\circ }$);
• азимутальный угол $\varphi$ совпадает с географической долготой (восточной).

Вектор магнитной индукции магнитного поля Земли $\mathbf {B}$ имеет компоненты

$B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta }=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi }=B\cos I\sin D,$

где $I$ — магнитное наклонение; $D$ — магнитное склонение.

Компоненты вектора ускорения свободного падения $\mathbf {g}$ равны

$g_{r}=-g,\;g_{\theta }=g_{\varphi }=0.$

Наконец, компоненты вектора угловой скорости вращения Земли $\mathbf {\Omega }$ такие:

$\Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.$

В сферических географических координатах оптимально решать уравнения, описывающие поведение нейтральных частиц околоземного пространства.

Сферическая геомагнитная система координат

Сферическая геомагнитная система координат строится следующим образом:

• её начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса;
• координата $r$ отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол $\Theta$ есть геомагнитная коширота (дополнение магнитной широты $\Phi$ до $90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi$);
• азимутальный угол $\Lambda$ совпадает с геомагнитной долготой, отсчитываемой к востоку от плоскости в западном полушарии, содержащей географический и геомагнитный полюсы.

Географические координаты северного магнитного полюса равны

$\theta _{0}=4,6^{\circ },\;\varphi _{0}=43,0^{\circ }\;(2012).$

В сферической геомагнитной системе координат склонение $D=0$ и

$B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta }=-B\cos I,\;B_{\Lambda }=0,$

$g_{r}=-g,\;g_{\Theta }=g_{\Lambda }=0.$

$\Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ),$

$\Omega _{\Theta }=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda ),$

$\Omega _{\Lambda }=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda .$

Формулы, связывающие географические и геомагнитные сферические координаты:

$\cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),$

$\cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0})}{\sin \Theta }},$

$\cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ,$

$\cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta }}.$

В сферических геомагнитных координатах проще, чем в сферических географических координатах описывать влияние геомагнитного поля на заряженные частицы околоземного пространства.

См. также

• Углы Эйлера
• Гиперсферические координаты

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.