Сферическая система координат

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат $(r,\;\theta ,\;\varphi )$, где $r$ — кратчайшее расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а $\theta$ и $\varphi$ — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис.1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальной является плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Определения

Три координаты $(r,\;\theta ,\;\varphi )$ точки $P$ вводятся с помощью декартовой системы координат. Криволинейные координатные линии, проходящие через точку $P$, образуются при изменении одной координаты при фиксированных остальных. За направление координатной линии в точке $P$ принимается направление возрастания соответствующей координаты. Векторы базиса $({\mathsf {r}}_{r},{\mathsf {r}}_{\theta },{\mathsf {r}}_{\varphi })$ в точке $P$ являются частными производными радиус — вектора $OP$ по переменным $(r,\;\theta ,\;\varphi )$ и составляют правую тройку.

• $r\geqslant 0$ — расстояние от начала координат до заданной точки $P$.
• $0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ — угол между осью $Z$ и отрезком, соединяющим начало координат и точку $P$.
• $0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ — угол между осью $X$ и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой $P$, на плоскость $XY$ (см. рис. 1).

Угол $\theta$ называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол $\varphi$ — азимутальным. Углы $\theta$ и $\varphi$ не имеют значения при $r=0$, а $\varphi$ не имеет значения при $\sin(\theta )=0$ (то есть при $\theta =0$ или $\theta =180^{\circ }$).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла $\theta$, используется угол между радиус-вектором точки r и плоскостью xy, равный $90^{\circ }$ — $\theta$. Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой $\theta$. Широта может изменяться в пределах $-90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$. При этом соглашении углы $\theta$ и $\varphi$ не имеют значения при $r=0$, так же как и в первом случае, а $\varphi$ не имеет значения при $\cos(\theta )=0$ (то есть при $\theta =-90^{\circ }$ или $\theta =90^{\circ }$).

Часто, по аналогии с цилиндрической системой координат $(r,\;\varphi ,\;{\mathsf {z}})$, которая является правой, используют сферическую систему координат $(r,\;\varphi ,\;\theta )$, где изменен порядок следования координат в отличие от определенного выше. Такая система координат является левой, так как векторы базиса $({\mathsf {r}}_{r},{\mathsf {r}}_{\varphi },{\mathsf {r}}_{\theta })$ при определении области изменения угла $\theta :$$0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ составляют левую тройку векторов (луч из точки $P$, направленный в указанной последовательности на концы векторов, двигается против часовой стрелки), в то время как исходная системе координат $(x,y,z)$ является правой. Для векторных операций при переходе от одной системы координат к другой существенно, чтобы правая система переходила в правую. Сферическая система координат $(r,\;\varphi ,\;\theta ')$ будет правой, если определить угол $\theta '$ следующим образом: $\theta '=180^{\circ }-\theta ,0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$.

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки $(r,\;\theta ,\;\varphi )$, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$

Обратно, от декартовых к сферическим:

${\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos \left({\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right).\end{cases}}$

(здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений $\varphi$ вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты $\theta$).

Якобиан преобразования к сферическим координатам имеет вид:

$J=r^{2}\sin \theta .\$

Вывод

Переход от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ):

$x=r\,\sin \theta \,\cos \phi$

$y=r\,\sin \theta \,\sin \phi$

$z=r\,\cos \theta .$

Матрица перехода имеет следующий вид

${\hat {I}}(r,\theta ,\phi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \phi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\cos \phi &-r\,\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.$

Столбцы матрицы перехода от декартовых координат к сферическим представляют собой декартовы координаты векторов базиса ${\displaystyle ({\mathsf {r}}_{r},{\mathsf {r}}_{\theta },{\mathsf {r}}_{\varphi })}$, а якобиан — есть определитель матрицы перехода:

$J(r,\theta ,\phi )=\det {\hat {I}}(r,\theta ,\phi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\cos \phi &-r\,\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

${\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$

Обратно от цилиндрических к сферическим:

${\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\rho }{z}}\right),\\\varphi =\varphi .\end{cases}}$

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:

$J=r.\$

Дифференциальные характеристики

Вектор $\mathrm {d} \mathbf {r}$, проведённый из точки $(r,\theta ,\varphi )$ в точку $(r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )$, равен

$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,$

где

${\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}$

${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}$

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения $r,\theta ,\varphi$, соответственно, а ${\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}$ — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

$g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}$

• $\det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\$
• Квадрат дифференциала длины дуги:

$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.$

• Коэффициенты Ламе:

$H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .$

• Символы Кристоффеля $\{r,\;\theta ,\;\varphi \}$:

$\Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,$

$\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},$

$\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .$

Остальные равны нулю.

См. также

• Углы Эйлера
• Гиперсфера § Гиперсферические координаты

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.