Сферическая система координат

Точка $P$ имеет три декартовых и три сферических координаты

Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат (см. рисунок):

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат $(r,\;\theta,\;\varphi)$, где $r$ — расстояние до начала координат, а $\theta$ и $\varphi$ — зенитный и азимутальный угол соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Определения

Три координаты $(r,\;\theta,\;\varphi)$ определены как:

• $r\geqslant 0$ — расстояние от начала координат до заданной точки $P$.
• $0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ$ — угол между осью $Z$ и отрезком, соединяющим начало координат и точку $P$.
• $0\leqslant\varphi< 360^\circ$ — угол между осью $X$ и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой $P$, на плоскость $XY$ (в Америке углы $\theta$ и $\varphi$ меняются ролями).

Угол $\theta$ называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол $\varphi$ — азимутальным. Углы $\theta$ и $\varphi$ не имеют значения при $r=0$, а $\varphi$ не имеет значения при $\sin(\theta)=0$ (то есть при $\theta=0$ или $\theta=180^\circ$).

Зависимо или независимо от стандарта (ISO 31-11), существует и такое соглашение или конвенция (англ. convention), когда вместо зенитного угла $\theta$, используется угол между проекцией радиус-вектора точки r на плоскость xy и самим радиус-вектором r, равный $90^\circ$ — $\theta$. Он называется углом подъёма и может быть обозначен той же буквой $\theta$. В этом случае он будет изменяться в пределах $-90^\circ\leqslant\theta\leqslant 90^\circ$.

Тогда углы $\theta$ и $\varphi$ не имеют значения при $r=0$, так же как и в первом случае, а $\varphi$ не имеет значения при $\cos(\theta)=0$, (уже при $\theta=-90^\circ$ или $\theta=90^\circ$).

Переход к другим системам координат

• Декартова система координат
  • Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

    $\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\varphi, \\ y=r\sin\theta\sin\varphi, \\ z=r\cos\theta. \end{cases}$

  • Обратно, от декартовых к сферическим:

    $\begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\ \theta=\arccos\left({\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\right)=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\right), \\ \varphi=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{y}{x}}\right). \end{cases}$

    • (здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений $\varphi$ вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты $\theta$).
  • Якобиан преобразования от декартовых к сферическим:

    $J=r^2\sin\theta.\$

• Цилиндрическая система координат
  • Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

    $\begin{cases} \rho=r\sin\theta, \\ \varphi=\varphi, \\ z=r\cos\theta. \end{cases}$

  • Обратно от цилиндрических к сферическим:

    $\begin{cases} r=\sqrt{\rho^2+z^2}, \\ \theta=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{\rho}{z}\right), \\ \varphi=\varphi. \end{cases}$

  • Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:

    $J=r.\$

Дифференциальные характеристики

Вектор $\mathrm{d}\mathbf{r}$, проведённый из точки $(r,\theta,\varphi)$ в точку $(r+\mathrm{d}r, \,\theta+\mathrm{d}\theta, \, \varphi+\mathrm{d}\varphi)$, равен

$\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\boldsymbol{\hat r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\boldsymbol{\hat\theta } + r \sin{\theta} \, \mathrm{d}\varphi\,\mathbf{\boldsymbol{\hat \varphi}},$

где

$\boldsymbol{\hat r} =\sin \theta \cos \phi \boldsymbol{\hat{\imath}} + \sin \theta \sin \phi \boldsymbol{\hat{\jmath}} + \cos \theta \boldsymbol{\hat{k}}$

$\boldsymbol{\hat\theta } =\cos \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{\imath}} + \cos \theta \sin \phi \boldsymbol{\hat{\jmath}} -\sin \theta \boldsymbol{\hat{k}}$

$\boldsymbol{\hat \varphi} =-\sin \phi \boldsymbol{\hat{\imath}} + \cos \phi \boldsymbol{\hat{\jmath}}$

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения $r,\theta,\varphi$, соответственно, а $\boldsymbol{\hat{\imath}}, \boldsymbol{\hat{\jmath}}, \boldsymbol{\hat{k}}$ — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

$g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{pmatrix},\quad g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{1}{r^2} & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta} \end{pmatrix}$

• $\det(g_{ij})=r^4\sin^2\theta.\$
• Квадрат дифференциала длины дуги:

$ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2+r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2.$

• Коэффициенты Ламе:

$H_r=1,\quad H_\theta=r,\quad H_\varphi=r\sin\theta.$

• Символы Кристоффеля $\{r,\;\theta,\;\varphi\}$:

$\Gamma^1_{22}=-r,\quad \Gamma^1_{33}=-r\sin^2\theta,$

$\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{r},$

$\Gamma^2_{33}=-\cos\theta\sin\theta,\quad \Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\mathrm{ctg}\,\theta.$

Остальные равны нулю.

См. также

• Системы небесных координат
• Полярная система координат
• Цилиндрическая система координат
• Углы Эйлера

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.