Схема Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проводятся опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью (или не произойти — «неудача» — с вероятностью ). Задача — найти вероятность получения ровно успехов в этих опытах.

Решение:

(формула Бернулли).

Количество успехов — величина случайная, которая имеет биномиальное распределение.

Определение[править | править код]

Для применения схемы Бернулли должны быть выполнены следующие условия:

  • Каждое испытание имеет ровно два исхода, условно называемых успехом и неудачей.
  • Независимость испытаний: результат очередного эксперимента не должен зависеть от результатов предыдущих экспериментов.
  • Вероятность успеха должна быть постоянной (фиксированной) для всех испытаний.

Рассмотрим стохастический эксперимент с двухэлементным пространством элементарных событий. Одно назовём «успехом», обозначим «1», другое — «неудачей», обозначим «0». Пусть вероятность успеха , тогда вероятность неудачи .

Рассмотрим новый стохастический эксперимент, который состоит в -кратном повторении этого простейшего стохастического эксперимента.

Понятно, что пространство элементарных событий , которое отвечает этому новому стохастическому эксперименту будет (1), . За -алгебру событий возьмём булеан пространства элементарных событий (2). Каждому элементарному событию поставим в соответствие число . Если в элементарном событии успех наблюдается раз, а неудача — раз, то . Пусть , тогда . Также является очевидной нормированность вероятности: .

Поставив в соответствие каждому событию числовое значение (3), мы найдём вероятность . Построенное пространство , где  — пространство элементарных событий, определённое равенством (1),  — -алгебра, определённая равенством (2), P — вероятность, определённая равенством (3), называется схемой Бернулли для испытаний.

Набор чисел называется биномиальным распределением.

Обобщение (полиномиальная схема)[править | править код]

Обычная формула Бернулли применима на случай, когда при каждом испытании возможно одно из двух событий. Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из событий с вероятностью , где . Вероятность появления раз первого события и  — второго и раз k-го находится по формуле:

,

где

Теоремы[править | править код]

В особых условиях (при достаточно больших или достаточно малых параметрах) для схемы Бернулли используются приближенные формулы из предельных теорем: теорема Пуассона, локальная теорема Муавра — Лапласа, интегральная теорема Муавра — Лапласа.

Ссылки[править | править код]