Схема с разностями против потока

Схема с разностями против потока в вычислительной физике — класс методов дискретизации для решения (явными схемами) дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (гиперболических уравнений).

Например, одномерное уравнение волны имеет вид

$\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

Оно описывает распространение волны в направлении $x$ со скоростью $a$. Такое уравнение также является математической моделью одномерной линейной адвекции. Рассматривая обыкновенную точку сетки $i$, в одномерном случае есть только два допустимых направления, левое и правое. Если $a$ положительна, то левая сторона называется направлением против потока, а правая сторона называется направлением по потоку. (Если $a$ отрицательна, то наоборот). Если при использовании конечных разностей для пространственной производной $\partial u/\partial x$ содержит больше точек на стороне против потока, то схема называется схемой с разностями против потока.

Первого порядка

Простейший пример, пример первого порядка:

$\quad (1)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0$

$\quad (2)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0$

Компактная форма

Определяя

$\qquad \qquad a^{+}={\text{max}}(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min}}(a,0)$

$\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}$,

два условных уравнения (1) и (2) можно записать в одном:

$\quad (3)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+a^{-}u_{x}^{+}\right]$

Такое уравнение представляет схемы с разностями против потока в общем виде. Стабильность схемы с разностями против потока определяется критерием Куранта — Фридрихса — Леви.