Сходимость по мере

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть — пространство с мерой. Пусть — измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций сходится по мере к функции , если

.

Обозначение: .

В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство с определёнными на нём случайными величинами , то говорят, что сходится по вероятности к , если

.

Обозначение: .

Замечание[править | править вики-текст]

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.

Свойства сходимости по мере[править | править вики-текст]

  • Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций сходится по мере к , то у неё существует подпоследовательность , сходящаяся к -почти всюду.
  • Теорема (критерий сходимости по мере): Если мера конечна, то последовательность функций сходится по мере к тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности существует подпоследовательность, которая сходится к почти всюду.
  • Если последовательность функций сходится по мере к , и , где , то , и сходится к в .
  • Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций сходится -почти всюду к , то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если последовательность функций сходится в к , то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если последовательность случайных величин сходится по вероятности к , то она сходится к и по распределению.