Сходимость по распределению
Сходимость по распределению — вид сходимости случайных величин: последовательность случайных величин сходится по распределению к случайной величине , если распределения соответствующих элементов слабо сходятся к распределению величины [1]. Используемые обозначения: , .
Случайная величина , определённая на вероятностном пространстве индуцирует распределение (вероятностную меру) ; соответственно, последовательность случайных величин сходится по распределению к случайной величине , если для любой непрерывной ограниченной функции :
- .
С использованием теоремы о замене меры в интеграле Лебега, определение эквивалентно можно сформулировать как сходимость для математических ожиданий для любой непрерывной ограниченной функции :
- ,
иногда это определение используется как основное[2].
Другое эквивалентное определение — величины сходятся по распределению к , если их функции распределения сходятся к функции распределения предела во всех точках непрерывности:
- .
Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:
почти всюду, то . Обратное, вообще говоря, неверно.
Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимость почти наверное и сходимость в среднем (то есть в при )) влечёт сходимость по распределению:
- ;
обратное, вообще говоря, неверно. Таким образом, сходимость по распределению может быть рассмотрена как самая слабая форма сходимости случайных величин.
Теорема Слуцкого позволяет складывать и умножать сходящиеся по вероятности и по распределению функции. Теорема Леви о непрерывности связывает сходимость случайных величин по распределению с поточечной сходимостью их характеристических функций.
Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — Стб. 313. — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Convergence in distribution . Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
- В. В. Петров. Сходимость по распределению // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — С. 719. — 910 с. — ISBN 5-85270-265-X.
- Биллингсли П.[англ.]. Сходимость вероятностых мер. — М.: Наука, 1977. — 352 с.
- Прохоров Ю. В., Прохоров А. В. Курс лекций по теории вероятностей и математической статистике. — М.: МЦНМО, 2020. — С. 17. — 144 с. — ISBN 978-5-4439-3392-4.