Счётное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Иногда счётными называются множества равномощные любому подмножеству множества натуральных чисел, то есть все конечные множества тоже считаются счётными.

Счётное множество является «простейшим» бесконечным множеством, то есть: в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество; всякое подмножество счётного множества конечно или счётно; если к бесконечному множеству присоединить конечное или счётное, то получится множество, эквивалентное исходному[1].

Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом (произносится: «алеф-ноль»).

Свойства[править | править код]

  1. Всякое бесконечное множество имеет счётное подмножество[1].
  2. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).[2][1]
  3. Если к бесконечному множеству присоединить конечное или счётное, то получится множество эквивалентное исходному[1].
  4. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.[2]
  5. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
  6. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
  7. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Связанные понятия[править | править код]

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примеры[править | править код]

Счётные множества[править | править код]

Несчётные множества[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 4 Брудно, 1971, с. 14.
  2. 1 2 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 62 — 63. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.