Счётное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Иногда счётными называются множества равномощные любому подмножеству множества натуральных чисел, то есть все конечные множества тоже считаются счётными.

Счётное множество является «простейшим» бесконечным множеством, то есть: в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество; всякое подмножество счётного множества конечно или счётно; если к бесконечному множеству присоединить конечное или счётное, то получится множество, эквивалентное исходному[1].

Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом (произносится: «алеф-нуль»).

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Всякое бесконечное множество имеет счётное подмножество[1].
  2. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).[2][1]
  3. Если к бесконечному множеству присоединить конечное или счётное, то получится множество, эквивалентное исходному[1].
  4. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.[2]
  5. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
  6. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
  7. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Связанные понятия[править | править вики-текст]

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примеры[править | править вики-текст]

Счётные множества[править | править вики-текст]

Несчётные множества[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 4 Брудно, 1971, с. 14.
  2. 1 2 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 62 — 63. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.