Счётное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Иногда счётными называются множества равномощные любому подмножеству множества натуральных чисел, то есть все конечные множества тоже считаются счётными.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом (произносится: «алеф-нуль»).

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).[1]
  2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.[1]
  3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
  4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
  5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Связанные понятия[править | править вики-текст]

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примеры[править | править вики-текст]

Счётные множества[править | править вики-текст]

Несчётные множества[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 62 — 63. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. также[править | править вики-текст]