Сюрреальные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Визуализация древа сюрреальных чисел

Сюрреальные числа (англ. surreal number — название принадлежит американскому математику Дональду Кнуту) впервые были использованы под другим названием («числа» — англ. number) в работах английского математика Джона Конвея для описания ряда аспектов теории игр[1].

История[править | править код]

В 1907 году австрийский математик Ханс Хан представил «серию Хана»[en] как обобщение формальных степенных рядов, а немецкий математик Феликс Хаусдорф ввёл некоторые упорядоченные множества, называемые ηα-множествами[en] для ординалов α, и спросил, можно ли найти совместимую упорядоченную группу или структуру поля. В 1962 году Норман Аллинг использовал модифицированную форму рядов Хана для построения таких упорядоченных полей, связанных с определёнными ординалами α, а взятие α в качестве класса всех ординалов в его построении дает класс, который является упорядоченным полем, изоморфным сюрреалистическим числам[2].

Исследование эндшпиля в игре го привело Конвея к ещё одному определению и построению сюрреальных чисел[3]. Конструкция Конвея была использована в книге Дональда Кнута 1974 года «Сюрреальные числа». В своей книге, которая принимает форму диалога, Кнут придумал термин «сюрреальные числа» для того, что Конвей назвал просто числами[4]. Позднее Конвей принял термин Кнута и использовал сюжеты для анализа игр в своей книге «Числа и игры» 1976 года.

Помимо Конвея и Кнута, большой вклад в теорию сюрреальных чисел внес математик Мартин Крускаль. На тот момент сюрреальные числа уже имели все основные свойства и операции действительных чисел, и включали в себя все действительные числа, наряду со многими типами бесконечностей и бесконечно малых величин. Крускаль внес свой вклад в основу теории, определение сюрреальных функций и анализ их структуры. Он также обнаружил связь между сюрреальными числами, асимптотикой и экспонциональной асимптотикой. Главный вопрос, поднятый Конвеем, Крускалем и Нортоном в конце 1970-х годов и с большим упорством исследовавшийся Крускалем, заключается в том, обладают ли все сюрреальные функции определенными интегралами. На этот вопрос ответили отрицательно Костин, Фридман и Эрлих в 2015 году. Однако анализ Костина и др. показывает, что существуют определенные интегралы для достаточно широкого класса сюрреальных функций, для которых прослеживается широкое понятие асимптотического анализа Крускаля. До своей смерти в 2006 году Крускаль собирался написать книгу о сюрреальном анализе вместе с Костиным.

Обзор[править | править код]

В конструкции Конвея[5]  сюрреальные числа строятся поэтапно. Сюрреальные числа строятся одновременно с бинарным отношением ≤. При этом для любых двух сюрреальных чисел a и b либо a ≤ b, либо b ≤ a. (Оба неравенства могут выполняться одновременно, в этом случае a и b эквивалентны и обозначают одно и то же число). Числа формируются путем построения пары подмножеств уже построенных чисел: пара подмножеств сюрреальных чисел L и R такие, что все элементы L строго меньше всех элементов R, задают новое число, обозначаемое { L | R }, при этом это число является промежуточным между всеми элементами L и всеми элементами R.

Различные подмножества могут определять одинаковые числа: { L | R } и { L ' | R ' } могут определять одно и то же число, даже если L ≠ L' и R ≠ R ' (аналогично тому, как одно и то же рациональное число, определённое как отношение двух целых чисел, может быть представлено разными отношениями: 1/2 и 2/4 — разные представления одного и того же рационального числа). Так что, строго говоря, сюрреальные числа являются классами эквивалентности представлений вида { L | R }, относительно отношения эквивалентности.

На первом этапе построения еще не существует чисел, поэтому можно использовать только пустое множество: {|} . Это представление, где L и R являются пустыми, называется 0. Последующие этапы дают формы, подобные

{0 | } = 1
{1 | } = 2
{2 | } = 3

а также

{ | 0} = -1
{ | -1} = -2
{ | -2} = -3

Таким образом, целые числа являются подмножеством сюрреальных чисел. (Вышеупомянутые тождества являются определениями в том смысле, что правая часть является именем для левой части). Аналогично можно построить следующие числа:

{0 | 1} = 1/2
{0 | 1/2} = 1/4
{1/2 | 1} = 3/4

и так далее. Таким образом, все двоично-рациональные числа (рациональные числа, знаменатели которых равны степеням 2), содержатся внутри сюрреальных чисел.

После бесконечного числа этапов становятся доступными бесконечные подмножества, так что любое действительное число а может быть представлено { La | Ra }, где La — множество всех диадических рациональностей , меньших a, а Ra — множество всех диадических рациональных чисел, больших a (напоминающие дедекиндово сечение). Таким образом, действительные числа также могут быть построены в классе сюрреальных чисел.

Есть также такие представления, как

{0, 1, 2, 3, ... | } = ω
{0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} = ε

Где ω — трансфинитное число, большее всех целых чисел, а ε — бесконечно малое больше 0, но меньше любого положительного действительного числа (гиперреальное число). Более того, стандартные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) могут быть расширены до этих невещественных чисел способом, который превращает набор сюрреальных чисел в упорядоченное поле, так что можно говорить о 2ω или ω-1 и т. д.

Конструкция[править | править код]

Сюрреальные числа конструируются индуктивно как классы эквивалентности пар множеств сюрреальных чисел, ограниченные тем условием, что каждый элемент первого множества должен быть меньше любого элемента из второго множества. Конструкция состоит из трех взаимозависимых частей: правила построения, правила сравнения и правила эквивалентности.

Формы[править | править код]

Форма сюрреального числа - это пара множеств сюрреальных чисел, называемых его левым и правым множествами. Форма с левым множеством L и правым множеством R записывается { L }. Когда L и R заданы как списки элементов, скобки вокруг них опущены. Любой или оба из множеств формы могут быть пустым. Форма {{} | {}} с левым и правым пустыми множествами записывается { }.

Числовые формы[править | править код]

Правило конструирования

Форма { L | R } является числовой если пересечение множеств L и R является пустым множеством и любой элемент R больше любого элемента L, согласно с отношением порядка ≤ заданным правилом ниже.

Классы эквивалентности числовых форм[править | править код]

Числовые формы располагаются в классах эквивалентности; каждый клас эквивалентности является сюрреальным числом. Элементы левого и правого множеств формы взяты из вселенной сюрреальных чисел (не форм, а классов эквивалентности).

Правило эквивалентности

Две числовые формы x и y являются формами одного и того же числа (находятся в одном классе эквивалентности) тогда и только тогда, когда xy и yx.

Отношение порядка должно быть антисимметричным, т.е. выражение x = y (т.е. xy и yx оба верны) должно быть верным только когда x и y являются одним и тем же объектом. Это не касается форм сюрреальных чисел, но это истинно для конструкций сюрреальных чисел (классов эквивалентности).

Класс эквивалентности включающий { } называется 0; также { } это форма сюрреального числа 0.

Порядок[править | править код]

Рекурсивное определение порядка для сюрреальных чисел задается следующим образом:

Даны числовые формы x = { XL | XR } и y = { YL | YR }, xy тогда и только тогда, когда:

  • не существует xLXL такого, чтобы yxL (каждый в левом множестве x меньше, чем y), и
  • не существует yRYR такого, чтобы yRx (каждый элемент в правом множестве y больше, чем x).

Сравнение yc для формы y и сюрреального числа c определяется выбором формы z из класса эквивалентности c и проверки yz; аналогично для cx и для сравнения bc двух сюрреальных чисел.

Индукция[править | править код]

Эта группа определений рекурсивная и требует некоторой математической индукции для определения вселенной объектов (форм и чисел), которые встречаются в них. Единственными сюрреальными числами, достигаемыми через «конечную индукцию», являются диадические рациональности. Более широкая вселенная достижима при некоторой форме трансфинитной индукции.

Индукционное правило

  • Существует S0 = {0}, в которой 0 - класс эквивалентности, состоящий из единственной формы {| }.
  • При любом порядковом числе n, S n это множество всех сюрреальных чисел, которые можно получить, применяя правило конструирования ко всем подмножествам  .

Базовый случай на самом деле является частным случаем правила индукции, причем 0 является меткой «наименьшего порядкового числа». Поскольку не существует Si с i < 0, выражение является пустым множеством; единственным подмножеством пустого множества является пустое множество, и поэтому S0 состоит из единственной сюрреальной формы {| } из класса эквивалентности 0.

Для каждого конечного порядкового числа n, вполне упорядочено для правила сравнения сюрреальных чисел.

Первая итерация правила индукции дает три числовые формы {| 0} < {| } < {0 | } (Форма {0 | 0} не является числовой, потому что 0≤0). Класс эквивалентности, содержащий {0 | } Обозначается 1, а класс эквивалентности, содержащий {| 0} обозначается -1. Эти три метки имеют особое значение в аксиомах, которые определяют кольцо; они являются аддитивным тождеством (0), мультипликативным тождеством (1) и аддитивной инверсией от 1 (-1). Арифметические операции, определенные ниже, согласуются с этими метками.

Для каждого i < n, все числа, содержащиеся в также содержатся в (в виде надмножеств их представления в )(Условное выражение объединения появляется в нашем правиле построения ранее, чем более простая формf , так что определение также имеет смысл, когда n является предельным ординалом).Числа в , которые являются надмножеством некоторого числа в , как говорят, были "унаследованы из поколения i". Наименьшее значение α, для которого данное сюрреальное число появляется в , называется его «днем рождения». Например, день рождения 0 равен 0, а день рождения -1 равен 1.

Вторая итерация правила построения дает следующий порядок классов эквивалентности:

{ | −1 } = { | −1, 0 } = { | −1, 1 } = { | −1, 0, 1 }

< { | 0 } = { | 0, 1 }
< { −1 | 0 } = { −1 | 0, 1 }
< { | } = { −1 | } = { | 1 } = { −1 | 1 }
< { 0 | 1 } = { −1, 0 | 1 }
< { 0 | } = { −1, 0 | }
< { 1 | } = { 0, 1 | } = { −1, 1 | } = { −1, 0, 1 | }
Сравнение этих классов эквивалентности согласуется, независимо от выбора формы. Можно заметить, что:
  1. В появляется четыре новых сюрреальных числа. Два из них содержат "экстремальные" формы: {| -1, 0, 1} включает в себя все числа из предыдущих поколений в своем правом наборе, а {-1, 0, 1 | } - в левом множестве. Другие имеют форму, которая разбивает все числа из предыдущих поколений на два непустых множества.
  2. Каждый сюрреальный номер x , существовавший в предыдущем «поколении», существует также в этом поколении и включает в себя по крайней мере одну новую форму: разделение всех чисел, отличных от x от предыдущих поколений в левое множество (все числа меньше x ) и в правое множество (все числа больше, чем x ).
  3. Класс эквивалентности числа зависит только от максимального элемента его левого множества и минимального элемента правого множества.

Неофициальные интерпретации {1 | } и { | -1} - «число сразу после 1» и «число перед -1» соответственно; Их классы эквивалентности обозначены 2 и -2. Неофициальные интерпретации {0 | 1} и {-1 | 0} это «число на полпути между 0 и 1» и «число на полпути между -1 и 0» соответственно; Их классы эквивалентности помечены и . Эти метки также будут использоваться для определения сюрреального сложения и умножения ниже. 

Классы эквивалентности на каждой стадии индукции n могут характеризоваться их n-полными формами (каждая из которых содержит как можно больше элементов предыдущих поколений в ее левом и правом наборах). Либо эта полная форма содержит каждое число из предыдущих поколений в своих левом или правом наборах, и в этом случае это первое поколение, в котором это число встречается,  либо она содержит все числа из предыдущих поколений, кроме одного, и в этом случае это новая форма этого самого числа. Мы сохраняем метки предыдущего поколения для этих «старых» чисел и записываем порядок выше, используя старые и новые метки:

-2 <-1 <-1/2 <0 <1/2 <1 <2.

Третье наблюдение распространяется на все сюрреальные числа с конечным левым и правым множествами. (Для бесконечных левых или правых множеств это справедливо в измененной форме, так как бесконечные множества могут не содержать максимальный или минимальный элемент.) Число {1, 2 | 5, 8}, следовательно, эквивалентно {2 | 5}; Можно установить, что они являются формами 3, используя свойство дня рождения, которое является следствием вышеприведенных правил.

Свойство дня рождения

Форма x = {L | R}, встречающееся в поколении n, представляет число, унаследованное от более раннего поколения, тогда и только тогда, когда в Si i<n есть некоторое число, которое больше всех элементов L и меньше всех элементов R. (Другими словами, если L и R  разделены числом, созданным на более раннем этапе, то x не представляет собой новое число, а уже построено.) Если x представляет число из любого поколения раньше n, то существует наименьшее такое поколение i и хотя бы одно число y с днем рождения i, находящееся между L и R. x является формой этого числа y, иными словами лежит в классе эквивалентности в Sn, являющемся надмножестом представления y в поколении i. 

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Векшенов С. А. § 2. Математика двойственности. 2.1 Сюрреальные числа // Метафизика. Век XXI. Альманах. Выпуск 4. Метафизика и математика / Составитель и редактор: Ю. С. Владимиров. — М.: «Бином. Лаборатория знаний», 2014. — С. 101. — ISBN 9785457525504.
  2. Alling, Norman L. (1962), "On the existence of real-closed fields that are ηα-sets of power ℵα.", Trans. Amer. Math. Soc. Т. 103: 341–352, DOI 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X 
  3. O'Connor, J.J. & Robertson, E.F., Conway Biography, <http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Conway.html>. Проверено 24 января 2008. 
  4. Кнут Д. Э. Сюрреальные числа = Surreal Numbers / Перевод Н. Шихова. — М.: «Бином. Лаборатория знаний», 2014. — 112 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-9963-1541-3.
  5. Conway, John H. On Numbers and Games. — 2. — CRC Press, 2000-12-11. — ISBN 9781568811277.

Литература[править | править код]

  • Donald Knuth's original exposition: Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness, 1974, ISBN 0-201-03812-9. More information can be found at the book’s official homepage.
  • An update of the classic 1976 book defining the surreal numbers, and exploring their connections to games: John Conway, On Numbers And Games, 2nd ed., 2001, ISBN 1-56881-127-6.
  • An update of the first part of the 1981 book that presented surreal numbers and the analysis of games to a broader audience: Berlekamp, Conway, and Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays, vol. 1, 2nd ed., 2001, ISBN 1-56881-130-6.
  • Martin Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W. H. Freeman & Co., 1989, ISBN 0-7167-1987-8, Chapter 4. A non-technical overview; reprint of the 1976 Scientific American article.
  • Polly Shulman, «Infinity Plus One, and Other Surreal Numbers», Discover, December 1995.
  • A detailed treatment of surreal numbers: Norman L. Alling, Foundations of Analysis over Surreal Number Fields, 1987, ISBN 0-444-70226-1.
  • A treatment of surreals based on the sign-expansion realization: Harry Gonshor, An Introduction to the Theory of Surreal Numbers, 1986, ISBN 0-521-31205-1.
  • A detailed philosophical development of the concept of surreal numbers as a most general concept of number: Alain Badiou, Number and Numbers, New York: Polity Press, 2008, ISBN 0-7456-3879-1 (paperback), ISBN 0-7456-3878-3 (hardcover).

Ссылки[править | править код]