Тангенциальное ускорение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Разложение ускорения на тангенциальное и нормальное; ( — единичный касательный вектор).

Тангенциа́льное ускоре́ние  — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости. Тангенциальное ускорение равно произведению единичного вектора, направленного по скорости движения, на производную модуля скорости по времени. Таким образом, направлено в ту же сторону, что и вектор скорости при ускоренном движении (положительная производная) и в противоположную при замедленном (отрицательная производная).

Обозначается обычно символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса, обозначающего тангенциальную компоненту: или , , и т. д.

Иногда используется не векторная форма, а скалярная — , обозначающая проекцию полного вектора ускорения на единичный вектор касательной к траектории, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Формула[править | править вики-текст]

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

где  — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

Вывод[править | править вики-текст]

Вывод 1[править | править вики-текст]

Выражение для тангенциального ускорения можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости, представленный в виде через единичный вектор касательной :

где первое слагаемое — тангенциальное ускорение, а второе — нормальное ускорение.

Здесь использовано обозначение для единичного вектора нормали к траектории и  — для текущей длины траектории (); в последнем переходе также использовано очевидное

и, из геометрических соображений,

Вывод 2[править | править вики-текст]

Если траектория гладкая (что предполагается), то:

  • изменения направления вектора дадут в проекции на касательную малую величину не ниже второго порядка по , которой можно поэтому пренебречь.
  • изменение длины вектора будет отличаться от проекции изменения на касательную тоже на величину не ниже второго порядка.

То и другое следует из того, что угол вектора к касательной будет не ниже первого порядка по . Отсюда сразу же следует искомая формула.

Говоря менее строго, проекция на касательную при малых будет практически совпадать с длиной вектора , поскольку угол отклонения этого вектора от касательной при малых всегда мал, а значит косинус этого угла можно считать равным единице [1].

Замечания[править | править вики-текст]

Абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Для определенности можем выбрать ту касательную, на которой лежит , тогда будет, очевидно, составлять с ним — а значит и с ней — малый угол из-за малости ; это тем более будет выполняться для любых промежутков времени, меньших чем .

См. также[править | править вики-текст]