Тангенциальнозначная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.

Определение[править | править вики-текст]

Тангенциальнозначной формой на многообразии называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:

Операции[править | править вики-текст]

  • Внутреннее дифференицрование
  • Внешнее дифференцирование

Производная Ли[править | править вики-текст]

Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля по векторному полю определяется стандартным образом:

где  — фазовый поток, соответствующий векторному полю . Эта операция связана с внутренним умножением дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

то есть

где  — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы производная Ли определяется по аналогии:

Свойства

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса[править | править вики-текст]

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса двух тангенциальнозначных форм и определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма , для которой

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Если воспринимать почти комплексную структуру как касательнозначную 1-форму, её тензор Нейенхёйса (тензор, препятствующий отысканию комплексных локальных карт) выражается через скобку Фрёлихера-Нейенхёйса как .[1] Условие «интегрируемости» некой структуры как зануление некоторой её скобки с самой собой общо: например, условие ассоциативности алгебры можно определять как зануление скобки Герстенхабера на пространстве кодифференцирований свободной коалгебры, порождённой подлежащим векторным пространством алгебры , посажённым в градуировку 1 (билинейные умножения суть то же самое, что кодифференцирования градуировки 1)[2].

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона[править | править вики-текст]

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона (алгебраические скобки) двух тангенциальнозначных форм и определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма , для которой

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм , :

Связанные определения[править | править вики-текст]

Форма называется припаивающей, если она лежит в .

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]