Телеграфные уравнения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Телегра́фные уравне́ния — пара линейных дифференциальных уравнений, описывающих распределение напряжения и тока по времени и расстоянию в линиях электрической связи. Уравнения были составлены Оливером Хевисайдом, разработавшим в 1880-х годах модель линии электрической связи.

Теория Хевисайда применима к линиям передачи электрического тока всех частот, включая телеграфные, телефонные и более высокочастотные линии, а также силовые линии электропередачи и линии передачи постоянного тока.

Распределённые параметры[править | править код]

Схематическое изображение элементарных компонентов линии электрической связи

Телеграфные уравнения, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, могут быть сведены к частному случаю уравнений Максвелла. С практической точки зрения предполагается, что проводники состоят из бесконечной цепи четырёхполюсников, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий участок линии со следующими параметрами:

Параметры и показаны на рисунке отнесёнными к одному проводнику, но фактически представляют соответствующее суммарное значение, относящееся к обоим проводникам. Распределённые по бесконечной цепи четырёхполюсников параметры , , , называются первичными параметрами линии. Также можно использовать обозначения , , , , чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по координате.

Уравнения[править | править код]

Линия без потерь[править | править код]

Когда элементы и малы, их значением можно пренебречь, линия электрической связи при этом считается идеальной. В этом случае модель зависит только от элементов и , мы получаем пару дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, одна функция описывает распределение напряжения вдоль линии, а другая — распределение тока , обе функции зависят от координаты и времени [1][2][3][4][5][6][7]:

Эти уравнения можно совместить для получения двух отдельных волновых уравнений:

В гармоническом случае (считая, что волна синусоидальная) , уравнения упрощаются до

где  — частота стационарной волны.

Если линия является бесконечно длинной или оканчивается характеристическим комплексным сопротивлением, уравнения показывают присутствие волны, распространяющейся со скоростью .

Такая скорость распространения применима к волновым явлениям и не учитывает дрейфовую скорость электрона. Другими словами, электрический импульс распространяется со скоростью, очень близкой к скорости света, несмотря на то, что сами электроны перемещаются со скоростью всего несколько сантиметров в секунду. Можно показать, что эта скорость в коаксиальной линии, сделанной из идеальных проводников, разделенных вакуумом, равна скорости света[8][9].

Линия с потерями[править | править код]

Когда элементами и нельзя пренебречь, первоначальные дифференциальные уравнения, описывающие элементарный участок, принимают вид:

Дифференцируя первое уравнение по и второе по , после проведения некоторых алгебраических преобразований, мы получим пару гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых содержит по одной неизвестной:

Если потери линии малы (малые и ), сигнал будет затухать с увеличением расстояния как , где .

Эти уравнения похожи на уравнение однородной волны с дополнительными условиями над и и их первыми производными. Дополнительные условия вызывают затухание и рассеяние сигнала в течение времени и с увеличением расстояния.

Направление распространения сигнала[править | править код]

Волновые уравнения, описанные выше, учитывают, что распространение волны может быть прямым и обратным. Учитывая упрощение линии без потерь (полагая и ), решение может быть представлено в виде

где:

называется волновым числом и измеряется в радианах на метр,
 — угловая частота (в радианах в секунду),
и могут быть любыми функциями, и
 — скорость распространения волны (или фазовая скорость).

представляет волну, идущую в положительном направлении оси (слева направо), представляет волну, идущую справа налево. Можно заметить, что мгновенное значение напряжения в любой точке линии является суммой напряжений, вызванных обеими волнами.

Так как зависимость между током и напряжением описывается телеграфными уравнениями, можно записать:

где  — волновое сопротивление линии передачи, которое для линии без потерь можно найти как

Решение телеграфных уравнений[править | править код]

Решение телеграфных уравнений есть, например, на с. 348 в примере 80 (плюс решение примера 79 на с. 347—348) в книге[10].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. John D. Kraus. Electromagnetics (англ.). — Third. — New York, NY: McGraw-Hill Education, 1984. — P. 380—419. — ISBN 0070354235.
  2. Wiliam H. Hayt. Engineering Electromagnetics (англ.). — Fifth. — New York, NY: McGraw-Hill Education, 1989. — P. 382—392. — ISBN 0070274061.
  3. Stanley V. Marshall. Electromagnetic Concepts & Applications (англ.). — Second. — New York, NY: Prentice-Hall, 1987. — P. 359—378. — ISBN 0132490048.
  4. Matthew N. O. Sadiku. Elements of Electromagnetics (англ.). — First. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing  (англ.), 1989. — P. 497—505. — ISBN 993013846. Архивная копия от 6 марта 2016 на Wayback Machine
  5. Rodger F. Harrington. Time-Harmonic Electromagnetic Fields (англ.). — First. — New York, NY: McGraw-Hill Education, 1961. — P. 61—65. — ISBN 0070267456.
  6. John J. Karakash. Transmission Lines and Filter Networks (англ.). — First. — New York, NY: Macmillan, 1950. — P. 5—14.
  7. Georges Metzger. Transmission Lines with Pulse Excitation (англ.). — First. — New York, NY: Academic Press, 1969. — P. 1—10.
  8. Matthew N. O. Sadiku. Elements of Electromagnetics (англ.). — First. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing  (англ.), 1989. — P. 501—503. — ISBN 993013846. Архивная копия от 6 марта 2016 на Wayback Machine
  9. Stanley V. Marshall. Electromagnetic Concepts & Applications (англ.). — Second. — New York, NY: Prentice-Hall, 1987. — P. 369—372. — ISBN 0132490048.
  10. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Архивная копия от 23 марта 2017 на Wayback Machine, 13-е издание. М.: Наука, 1986.