Тензор напряжений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Те́нзор напряже́ний (иногда тензор напряжений Коши) — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. В декартовой системе координат эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные составляющие векторов напряжений на трёх взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматриваемую точку среды, а в остальных позициях — касательные компоненты векторов напряжений на этих площадках.

Полный тензор механического напряжения элементарного объёма тела. Буквой σ обозначены нормальные механические напряжения, а касательные буквой τ.

Компоненты тензора напряжений в декартовой системе координат (то есть ) вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объём тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади . На каждой грани параллелепипеда действуют поверхностные силы . Если обозначить проекции этих сил на оси как , то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила:

По индексу здесь суммирования нет. Компоненты , ,, обозначаемые также как , , — это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы на нормаль к площади рассматриваемой грани :

и т. д.

Компоненты , ,, обозначаемые также как , , — это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы на касательные направления к площади рассматриваемой грани :

и т. д.

При отсутствии собственного момента импульса сплошной среды, а также объемных и поверхностных пар тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений), что является следствием уравнения баланса момента импульса. В частности, тензор напряжений симметричен в классической теории упругости и гидродинамике идеальной и линейно-вязкой жидкостей.

Тензор напряжений в релятивистской физике[править | править вики-текст]

С точки зрения теории относительности, компоненты тензора напряжений являются девятью пространственными компонентами тензора энергии-импульса.

Тензор напряжений в классической электродинамике[править | править вики-текст]

В классической электродинамике тензор напряжений электромагнитного поля (максвелловский тензор напряжений[1], тензор натяжений Максвелла[2]) в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

где  — плотность энергии электромагнитного поля.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 115. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  2. Степановский Ю. П. Максвелла тензор натяжений // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема. — С. 32-33. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.

Литература[править | править вики-текст]