Тензор напряжений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Те́нзор напряже́ний (иногда Тензор напряжений Коши) — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях — касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.

Полный тензор механического напряжения элементарного объёма тела. Буквой σ обозначены нормальные механические напряжения, а касательные буквой τ.

Компоненты тензора напряжений  \sigma_{ij} в декартовой системе координат Ox_i (то есть  Oxyz ) вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объём тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади dS_{i}. На каждой грани dS_{i} параллелепипеда действуют поверхностные силы dF_{i}. Если обозначить проекции этих сил на оси Ox_{j} как dF_{ij}, то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила:

 \sigma_{ij} = \frac{ d F_{ij}}{dS_{i}}

По индексу  i здесь суммирования нет. Компоненты \sigma_{11}, \sigma_{22},\sigma_{33}, обозначаемые также как \sigma_{xx}, \sigma_{yy},\sigma_{zz} — это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы dF_{i} на нормаль к площади рассматриваемой грани dS_{i}:

 \sigma_{11} = \frac{ d F_{11}}{dS_{1}} и т. д.

Компоненты \sigma_{12}, \sigma_{23},\sigma_{31}, обозначаемые также как \tau_{xy}, \tau_{yz},\tau_{zx} — это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы dF_{i} на касательные направления к площади рассматриваемой грани dS_{i}:

 \sigma_{12} = \frac{ d F_{12}}{dS_{1}} и т. д.

При отсутствии собственного момента импульса сплошной среды, а также объемных и поверхностных пар тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений), что является следствием уравнения баланса момента импульса. В частности, тензор напряжений симметричен в классической теории упругости и гидродинамике идеальной и линейно-вязкой жидкостей.

Тензор напряжений в релятивистской физике[править | править исходный текст]

С точки зрения теории относительности, компоненты тензора напряжений являются девятью пространственными компонентами тензора энергии-импульса.

Тензор напряжений в классической электродинамике[править | править исходный текст]

В классической электродинамике тензор напряжений электромагнитного поля (максвелловский тензор напряжений[1], тензор натяжений Максвелла[2]) в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

 T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}W,

где W — плотность энергии электромагнитного поля.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 115. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
  2. Степановский Ю. П. Максвелла тензор натяжений // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема. — С. 32-33. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3

Литература[править | править исходный текст]