Теорема Абеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Абеля — результат теории степенных рядов, названный в честь норвежского математика Нильса Абеля. Обратной к ней является теорема Абеля — Таубера.

Утверждение

[править | править код]

Пусть — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости .

Если ряд является сходящимся, тогда:

.

Доказательство

[править | править код]

Заменой переменных , можно считать . Также (необходимым подбором ) можно предположить . Обозначим частичные суммы ряда . Согласно предположению и нужно доказать, что .

Рассмотрим . Тогда (приняв ):

Отсюда получается .

Для произвольного существует натуральное число , что для всех , поэтому:

Правая часть стремится к когда стремится к 1, в частности она меньше при следовании к 1.

Возьмем . Поскольку ряд сходится, имеем:

Возьмем . Поскольку ряд сходится, имеем: