Теорема Абеля — Руффини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Подробности[править | править вики-текст]

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух фактах.

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение -й степени при не имеет решения. Если мы допускаем комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвертой невозможно указать замкнутую формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью используя численные методы, например метод Ньютона.

Кроме того, для некоторых уравнений высших степеней существуют закрытые формулы, однако они не действительны для всех уравнений данной степени. Например, уравнение имеет корень .

Хотя уравнение неразрешимо в радикалах. Для корней уравнения 5 степени существуют формулы с использованием тета-функций.

Замкнутые формулы для степеней меньше пятой[править | править вики-текст]

Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать замкнутую формулу решения. Это можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой).

История[править | править вики-текст]

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем.

Их доказательства основывалось на идеях Лагранжа связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа, она позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры.

Разрешимые типы уравнений[править | править вики-текст]

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]