Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Теорема Абеля — Руффини»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Подробности[править | править код]

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух фактах.

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение -й степени при не имеет решения. Если мы допускаем комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвертой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона.

Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение имеет корень .

Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.

Явные формулы для степеней меньше пятой[править | править код]

Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Это можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой).

История[править | править код]

Руффини, Паоло, Teoria generale delle equazioni, 1799

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 году Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем.

Их доказательства основывалось на идеях Лагранжа, связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа, она позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры.

Разрешимые типы уравнений[править | править код]

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]