Теорема Абеля — Таубера

Теорема Абеля — Таубера — теорема, обратная теореме Абеля о степенных рядах. Первая теорема типа тауберовых теорем. Была доказана A. Таубером в 1897 г. (теорема Таубера) Формулировку и доказательство при более общих условиях затем дал Дж. Литтльвуд в 1910 г. Затем была доказана Р. Шмидтом, Н. Винером. Наиболее простое доказательство дал Дж. Карамата. Формулировку и доказательство при более слабом условии $n|a_{n}|<K$ дал Э. Ландау.

Формулировка

Пусть $\sum _{0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ сходится к $f(x)$ при $|x|<1$. Пусть $\lim _{x\rightarrow {1-0}}f(x)=s$, когда $x$ стремится слева к $1$. Пусть $n|a_{n}|<K<\infty$. Тогда $\sum _{0}^{\infty }a_{n}=s$.

Литература

• Винер, Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. — М. : Физматлит, 1963. — С. 255.