Теорема Барбье

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Барбье́ — теорема французского астронома и математика Эмиля Барбье, описывающая длину кривых постоянной ширины. Сформулирована и доказана Барбье в 1860 году.

Формулировка[править | править исходный текст]

Теорема.

Длина любой кривой постоянной ширины a равна \pi a.

Доказательства[править | править исходный текст]

Существует несколько доказательств теоремы Барбье:

  • Основанное на методах выпуклой геометрии. С одной стороны, выпуклая фигура является фигурой постоянной ширины a, если и только если сумма Минковского её и её образа при центральной симметрии оказывается кругом радиуса a. С другой стороны, при сумме по Минковскому плоских выпуклых фигур их периметры складываются, периметр фигуры постоянной ширины равен половине периметра круга радиуса a, то есть \pi a.[1]
  • Основанное на теории вероятностей. Барбье доказал теорему, обобщающую известный ответ в задаче Бюффона о бросании иглы. Он показал, что при бросании выпуклой фигуры на плоскость, расчерченную линиями на расстоянии d друг от друга, если фигура не может пересечь более одной из этих линий, то вероятность, что фигура пересечёт одну из линий, оказывается равной \frac{L}{\pi d}, где L — периметр этой фигуры[2][3]. Поскольку фигура постоянной ширины a удовлетворяет условию этой теоремы для d=a, а вероятность пересечения в этом случае равна единице, её периметр должен равняться \pi a.[4]

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Bogomolny A. The Theorem of Barbier (англ.). Cut The Knot. Архивировано из первоисточника 4 февраля 2012.
  2. Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286.
  3. Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand (англ.) // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Vol. 55. — № 6. — P. 501-524. — DOI:10.1007/s004070100038
  4. Bogomolny A. Math Surprises: An Example (англ.). Cut The Knot. Архивировано из первоисточника 4 февраля 2012.

Литература[править | править исходный текст]