Теорема Барбье

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Барбье́ — теорема французского астронома и математика Ж. Барбье (фр.), описывающая длину кривых постоянной ширины. Сформулирована и доказана Барбье в 1860 году.

Формулировка[править | править код]

Длина любой кривой постоянной ширины равна .

Доказательства[править | править код]

Существует несколько доказательств теоремы Барбье:

  • Основанное на методах выпуклой геометрии. С одной стороны, выпуклая фигура является фигурой постоянной ширины , тогда и только тогда, когда сумма Минковского её и её образа при центральной симметрии оказывается кругом радиуса . С другой стороны, при сумме по Минковскому плоских выпуклых фигур их периметры складываются, периметр фигуры постоянной ширины равен половине периметра круга радиуса , то есть .[1]
  • Основанное на теории вероятностей или формуле Крофтона. Барбье доказал теорему, обобщающую известный ответ в задаче Бюффона о бросании иглы. Он показал, что при бросании выпуклой фигуры на плоскость, расчерченную линиями на расстоянии друг от друга, если фигура не может пересечь более одной из этих линий, то вероятность, что фигура пересечёт одну из линий, оказывается равной , где — периметр этой фигуры[2][3]. Поскольку фигура постоянной ширины удовлетворяет условию этой теоремы для , а вероятность пересечения в этом случае равна единице, её периметр должен равняться .[4]

Вариации и обобщения[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Bogomolny A. The Theorem of Barbier (англ.). Cut The Knot. Архивировано 4 февраля 2012 года.
  2. Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286.
  3. Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand (англ.) // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Vol. 55, no. 6. — P. 501-524. — DOI:10.1007/s004070100038.
  4. Bogomolny A. Math Surprises: An Example (англ.). Cut The Knot. Архивировано 4 февраля 2012 года.

Литература[править | править код]