Теорема Безу

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство[править | править вики-текст]

Поделим с остатком многочлен на двучлен :

где - остаток. Так как , то — многочлен степени не выше 0, то есть константа. Подставляя , поскольку , имеем .

Следствия[править | править вики-текст]

  • Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится без остатка на двучлен (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения ).
  • Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  • Пусть  — целый корень приведённого многочлена с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого число делится на .

Приложения[править | править вики-текст]

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

См. также[править | править вики-текст]