Теорема Биркгофа (относительность)

Теорема Биркгофа в общей теории относительности утверждает, что любое сферически—симметричное решение уравнений вакуумного поля должно быть статическим и асимптотически плоским. Это означает, что внешнее решение (то есть пространство-время вне сферического, невращающегося, гравитирующего тела) должно задаваться метрикой Шварцшильда.

Теорема была доказана в 1923 году Джорджем Дэвидом Биркгофом (автором другой известной теоремы Биркгофа, поточечной эргодической теоремы, лежащей в основе эргодической теории). Однако Стэнли Дезер недавно указал, что она была опубликована двумя годами ранее малоизвестным норвежским физиком Йорг Тофте Джебсен.

Интуитивное обоснование

Интуитивная идея теоремы Биркгофа состоит в том, что сферически симметричное гравитационное поле должно создаваться каким-то массивным объектом в начале координат; если бы где-то ещё была другая концентрация массы-энергии, это нарушило бы сферическую симметрию, поэтому мы можем ожидать, что решение будет представлять изолированный объект. То есть поле должно исчезать на больших расстояниях, что (частично) и имеется в виду, когда мы говорим, что решение асимптотически плоское. Таким образом, эта часть теоремы как раз соответствует тому, что мы ожидаем от того факта, что общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации в Ньютоновский предел.

Последствия

Вывод о том, что внешнее поле также должно быть стационарным, более удивителен и имеет интересное следствие. Предположим, у нас есть сферически-симметричная звезда фиксированной массы, которая испытывает сферические пульсации. Тогда теорема Биркгофа говорит, что внешняя геометрия должна быть шварцшильдовской; единственным эффектом пульсации является изменение положения звёздной поверхности. Это означает, что сферически пульсирующая звезда не может излучать гравитационные волны.

Обобщения

Теорему Биркгофа можно обобщить: любое сферически-симметричное и асимптотически плоское решение уравнений поля Эйнштейна/Максвелла без $\Lambda$, должно быть статическим, поэтому внешняя геометрия сферически-симметричной заряженной звезды должна задаваться электровакуумом Рейсснера – Нордстрема. Обратите внимание, что в теории Эйнштейна-Максвелла существуют сферически-симметричные, но не асимптотически плоские решения, такие как вселенная Бертотти-Робинсона.

Ссылки

• Deser, S & Franklin, J (2005). "Schwarzschild and Birkhoff a la Weyl". American Journal of Physics. 73 (3): 261—264. arXiv:gr-qc/0408067. Bibcode:2005AmJPh..73..261D. doi:10.1119/1.1830505.
• D'Inverno, Ray. Introducing Einstein's Relativity. — Oxford : Clarendon Press, 1992. — ISBN 0-19-859686-3. See section 14.6 for a proof of the Birkhoff theorem, and see section 18.1 for the generalized Birkhoff theorem.
• Birkhoff, G. D. Relativity and Modern Physics. — Cambridge, Massachusetts : Harvard University Press, 1923.
• Jebsen, J. T. (1921). "Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum (On the General Spherically Symmetric Solutions of Einstein's Gravitational Equations in Vacuo)". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. 15: 1—9.