Теорема Блоха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Блоха — важная теорема физики твёрдого тела, устанавливающая вид волновой функции частицы, находящейся в периодическом потенциале. Названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха. В одномерном случае эту теорему часто называют теоремой Флоке. Сформулирована в 1928 году.

Формулировка[править | править код]

Строгая формулировка[править | править код]

Собственные состояния одноэлектронного гамильтониана

где потенциал U(r) периодичен по всем векторам R решётки Бравэ, могут быть выбраны таким образом, чтобы их волновые функции имели форму плоской волны, умноженной на функцию, обладающую той же периодичностью, что и решётка Бравэ:

где

для всех R, принадлежащих решётке Бравэ. Индекс n называют номером зоны. Его появление связано с тем, что при произвольном фиксированном волновом векторе частицы k, система может иметь много независимых собственных состояний.

Электронные волновые функции в виде называют функциями Блоха. Но при этом важно понимать, что, в отличие от функций Блоха, амплитуды не являются периодическими функциями, поскольку член описывает плоскую волну.

Пояснения к формулировке[править | править код]

В теореме рассматривается идеальный бесконечный кристалл. Это означает, что в нём отсутствуют дефекты и он обладает трансляционной симметрией. При дальнейшем построении теории, нарушения периодичности решётки обычно считаются малыми возмущениями. Кроме того, в реальном кристалле электроны взаимодействуют между собой, что должно отразиться на гамильтониане системы добавлением соответствующего члена. В формулировке теоремы, однако, используется приближение невзаимодействующих электронов, что позволяет рассматривать одночастичный гамильтониан.

Доказательство[править | править код]

Обозначим за TR оператор трансляции произвольной функции на вектор R. В силу периодичности гамильтониана имеем:

Таким образом, оператор трансляции на произвольный вектор решётки Бравэ коммутирует с гамильтонианом системы. Кроме того, операторы трансляции на произвольные два вектора коммутируют между собой:

Из фундаментальной теоремы квантовой механики следует, что в этом случае состояния гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы они одновременно являлись собственными состояниями всех операторов TR:

Собственные значения c(R) связаны между собой соотношением c(R)c(R')=c(R+R'), поскольку, с одной стороны:

с другой:

Пусть ai — три основных вектора решётки Бравэ. Мы всегда можем представить с(ai) в виде

Для произвольного вектора R = n1a1+n2a2+n3a3 справедливо равенство:

эквивалентное равенству , где где bi — вектора обратной решётки, удовлетворяющие соотношению

Итак, собственные значения ψ гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы для каждого вектора R решётки Бравэ выполнялось равенство:

что в точности соответствует утверждению теоремы.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Н. Ашкрофт, Н. Мермин. Физика твёрдого тела. Том 1. Глава 8.