Теорема Бойяи — Гервина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Бойяи — Гервина утверждает, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть и суть два многоугольника с одинаковой площадью. Тогда их можно разрезать соответственно на многоугольники и , так что для любого многоугольник конгруэнтен .

Схема доказательства[править | править вики-текст]

Главным фактом, используемым в доказательстве, является транзитивность равносоставленности, то есть утверждение о том, что если многоугольник равносоставлен и многоугольник равносоставлен , то равносоставлен . Это утверждение очевидно если рассмотреть разбиение многоугольника одновременно по всей совокупности разделяющих линий, определяющих его разбиение при обоих переходах и .

Пользуясь этой леммой, теорему можно свести к более простой:

Любой многоугольник равносоставлен прямоугольнику той же площади с единичной высотой.

Последнее утверждение доказвается пошагово сведением задачи к разным частным случаям. Во-первых. рассматривается триангуляция многоугольника, что позволяет свести задачу к аналогичному утверждению только для треугольников (получившиеся прямоугольники можно будет просто соединить ввиду одинаковой высоты). Далее треугольник через отсечение верхней части, разбиении её на две части по линии высоты и приклеивание их по бокам к нижней части оказывается равносоставлен некоторому прямоугольнику.

Последним шагом в доказательстве теоремы является доказательство равносоставленности любых двух прямоугольников одинаковой площади. Это достигается через указание равносоставленности всех параллелограммов с одинаковой длиной основания, и через преобразование таким образом одного прямоугольника в параллелограмм с длиной боковой стороны, равной одной из сторон второго прямоугольника.

Замечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]