Теорема Брахмагупты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Брахмагу́пты — теорема элементарной геометрии, найденная в седьмом столетии нашей эры индийским математиком Брахмагуптой.

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке , то прямая, проходящая через точку и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.

Замечание. По аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника отрезок FE на рисунке справа называют антимедиатрисой противоположных сторон четырехугольника. С учетом этого замечания теорема Брахмагупты может быть сформулирована в виде:

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке M, то две пары его антимедиатрис проходят через точку M.  

Доказательство[править | править вики-текст]

На рисунке изображён вписанный четырёхугольник , имеющий перпендикулярные диагонали и , а прямая перпендикулярна стороне и пересекает сторону в точке . Тогда Следовательно, треугольник  — равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и треугольник . Поэтому .

Ссылки[править | править вики-текст]