Теорема Брахмагупты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теоре́ма Брахмагу́пты — теорема элементарной геометрии, найденная в седьмом столетии нашей эры индийским математиком Брахмагуптой.

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке , то прямая, проходящая через точку и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.

Замечание. По аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника отрезок (на рисунке справа) называют антимедиатрисой[1] противоположных сторон четырёхугольника. С учетом этого замечания теорема Брахмагупты может быть сформулирована в виде:

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке M, то две пары его антимедиатрис проходят через точку M.

Доказательство[править | править код]

На рисунке изображён вписанный четырёхугольник , имеющий перпендикулярные диагонали и , а прямая перпендикулярна стороне и пересекает сторону в точке . Тогда Следовательно, треугольник  — равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и треугольник . Поэтому .

Антицентр и коллинеарность[править | править код]

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного ортодиагонального четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке[2][3]. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно «вершинного центроида». Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, «вершинный центроид» и антицентр лежат на одной прямой[3].

Обобщения[править | править код]

  • Известна теорема: Если в четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны [4]. Из этой теоремы и теоремы Брахмагупты следует, что концы двух пар антимедиатрис (восемь точек) вписанного ортодиагонального четырёхугольника лежат на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника).

Эта теорема обобщает теорему Брахмагупты, однако отсутствие вписанности четырёхугольника в окружность приводит к тому, что его антимедиатрисы пересекаются не в точке, являющейся точкой пересечения его диагоналей.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]