Теорема Вариньона (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Красный четырёхугольник — параллелограмм

Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Точнее,

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.

Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

Следствия[править | править код]

  • Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
  • Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
  • Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.
  • Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.
  • Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.
  • Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны.
  • Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны.

выпуклый четырёхугольник невыпуклый четырёхугольник самопересекающийся четырёхугольник

Varignon parallelogram convex.svg

Varignon parallelogram nonconvex.svg

Varignon parallelogram crossed.svg

Другие следствия теоремы Вариньона[править | править код]

Точки E, K, F лежат на одной прямой, прямой Ньютона
  • Теоремы о средних линиях четырёхугольника

Пусть G, H, I, J — середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а E, F — середины его диагоналей. Назовем три отрезка GH, IJ, EF соответственно первой, второй и третьей средними линиями четырёхугольника.

  • Теорема Вариньона (геометрия)[1]:
    • Четырёхугольники GIHJ, EHFG, JEIF являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона. Первый из них назовем большим параллелограммом Вариньона
    • Центры всех трех параллелограммов Вариньона лежат на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
    • Периметр большого параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника .
    • Площадь большого параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника , то есть
.
    • Площадь исходного четырёхугольника равна произведению первой и второй средних линий четырёхугольника на синус угла между ними, то есть
.
    • Обобщенная теорема Ньютона. Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей этого четырехугольника, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
    • Сумма квадратов средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей этого четырехугольника, равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:
.
    • Если исходный четырехугольник — параллелограмм, то его третья средняя линия вырождается в точку (в точку пересечения его диагоналей), а первая и вторая его средние линии пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]