Теорема Вариньона (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Красный четырёхугольник — параллелограмм

Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном:

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.

или сокращённо

Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма


Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

Следствия[править | править вики-текст]

  • Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
  • Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
  • Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.
  • Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.
выпуклый четырёхугольник невыпуклый четырёхугольник самопересекающийся четырёхугольник

Varignon parallelogram convex.svg

Varignon parallelogram nonconvex.svg

Varignon parallelogram crossed.svg


Другие следствия теоремы Вариньона[править | править вики-текст]

Точки E, K, F лежат на одной прямой, прямой Ньютона
  • Теоремы о средних линиях четырёхугольника

Пусть G, H, I, J – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а E, F – середины его диагоналей. Назовем три отрезка GH, IJ, EF соответственно первой, второй и третьей средними линиями четырёхугольника.

  • Теорема Вариньона (геометрия) [1]:
    • Четырёхугольники GHIJ, EHFG, JEIG являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона. Первый из них назовем большим параллелограммом Вариньона
    • Центры всех трех параллелограммов Вариньона лежат на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
    • Периметр большого параллелограмма Вариньона GIHJ равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника ABCD.
    • Площадь большого параллелограмма Вариньона GIHJ равна половине площади исходного четырёхугольника ABCD, то есть
S_{GIHJ} =\frac {1}{2} S_{ABCD}.
    • Площадь исходного четырёхугольника ABCD равна произведению первой GH и второй IJ средних линий четырёхугольника на синус угла \phi между ними, то есть
S_{ABCD}= GH \cdot IJ \sin\phi .
    • Сумма квадратов трех средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:
 GH^2+IJ^2+EF^2= \frac {1}{4}(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2+BD^2+AC^2).
    • Если исходный четырехугольник - параллелограмм, то его третья средняя линия вырождается в точку (в точку пересечения его диагоналей), а первая и вторая его средние линии пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]