Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Вейерштра́сса — теорема математического анализа и общей топологии, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней[1].

Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно[1]

Формулировка теоремы[править | править вики-текст]

Теорема Вейерштрасса формулируется для непрерывных функций, действующих из заданного метрического пространства в множество вещественных чисел.

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций[править | править вики-текст]

В математическом анализе рассматриваются числовые пространства, для которых компактными являются произвольные замкнутые и ограниченные множества. На вещественной прямой связные компактные множества — это отрезки, то теорема Вейерштрасса формулируется для отрезков:

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем и притом достигает своих минимального и максимального значений, т.е. существуют такие, что для всех .

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций[править | править вики-текст]

  • Пусть функция ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда
    и
  • Пусть функция ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда
    и

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство теоремы для непрерывных функций[править | править вики-текст]

В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань . Поскольку  — точная верхняя грань, существует последовательность такая, что . По теореме Больцано — Вейерштрасса из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность , предел которой (назовем его ) также принадлежит отрезку . В силу непрерывности функции имеем , но с другой стороны . Таким образом, точная верхняя грань конечна и достигается в точке .

Для нижней грани доказательство аналогично.

Доказательство теоремы в общем случае[править | править вики-текст]

Пусть - компакт и функция непрерывна на . Рассмотрим совокупность множеств , где - открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и очевидно, образуют покрытие . По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие , откуда имеем , ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции , , и применить к ним только что доказанное утверждение.

Замечания[править | править вики-текст]

  • В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть I. — М., 1998. — С. 248-251.