Теорема Вигнера

Теорема Вигнера — теорема квантовой механики. Играет важную роль в математических основах квантовой механики. Она определяет, как физические симметрии (вращение, перемещение в пространстве, CPT-преобразование) представлены математически в гильбертовом пространстве состояний. Названа в честь Юджина Вигнера, доказавшего её в 1931 г.

Пространство лучей

Проективное гильбертово пространство $\mathbb {P} H$ комплексного гильбертова пространства $H$ — это множество классов эквивалентности ненулевых векторов $\Psi \in H$, для отношения эквивалентности $\sim$ на $H$, заданного следующим образом:

$\Psi \sim \Phi$ тогда и только тогда, когда $\Psi =\lambda \Phi$ для некоторого ненулевого комплексного числа $\lambda$.

Классы эквивалентности ${\underline {\Psi }}$ также называются лучами или проективными лучами.

Формулировка

Предварительные сведения

Преобразование унитарно, если оно биективно и

$$\langle U\Psi ,U\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .$$

Преобразование антиунитарно, если

$$\langle A\Psi ,A\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle ^{*}=\langle \Phi ,\Psi \rangle .$$

Пусть есть унитарное преобразование $U:H\to K$ гильбертовых пространств.

Определим

$${\begin{aligned}T_{U}:\mathbb {P} H&\to \mathbb {P} K\\{\underline {\Psi }}&\mapsto {\underline {U\Psi }},\\\end{aligned}}$$

которое является преобразованием симметрии, поскольку

$$T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\frac {\left|\langle U\Psi ,U\Phi \rangle \right|}{\|U\Psi \|\|U\Phi \|}}={\frac {\left|\langle \Psi ,\Phi \rangle \right|}{\|\Psi \|\|\Phi \|}}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}.$$

Таким же образом антиунитарные преобразования $A$ симметрии гильбертова пространства индуцируют преобразование симметрии пространства лучей.

Утверждение теоремы

Теорема Вигнера утверждает, что верно и обратное: Если $H$ и $K$ — гильбертовы пространства, и $T:\mathbb {P} H\to \mathbb {P} K$ — преобразование симметрии, тогда существует унитарное или антиунитарное преобразование $V:H\to K$, которое индуцирует $T$.

Доказательство см.

Комментарии

В некоторых источниках, теорема Вигнера относится к собственным состояниям симметричной квантово-механической системы, и говорит о том, что если гамильтониан инвариантен относительно преобразований какой-то группы, то его собственные функции образуют базис неприводимых представлений этой группы, а кратность вырождения уровня равна размерности представления.

Литература

• Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М.: ИЛ, 1961. — 443 с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров, И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7 – via Internet Archive