Теорема Гильберта о нулях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как «теорема о нулях») — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.

Данная теорема связывает понятие алгебраического множества с понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем. Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313—373) и названа в его честь.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольное поле (например, поле рациональных чисел),  — алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим  — кольцо многочленов от переменных с коэффициентами в поле , пусть  — идеал в этом кольце. Алгебраическое множество , определяемое этим идеалом, состоит из всех точек таких, что для любого . Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен зануляется на множестве , то есть если для всех , то существует натуральное число такое, что .

Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если является собственным идеалом в кольце , то не может быть пустым множеством, то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен имеет корни всюду на , следовательно, его степень принадлежит ). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича. Предположение о том, что поле является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала в не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры, теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала справедлива формула

где  — радикал идеала , а  — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве .

Из этого следует, что операции и задают биективное, обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в и радикальными идеалами в .

Проективная версия Nullstellensatz[править | править вики-текст]

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве, называемое проективной Nullstellensatz. Пусть ,  — множество однородных многочленов степени . Тогда

называется максимальным однородным идеалом. Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества и однородного идеала пусть

Напомним, что не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами , в которых , определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала верно

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]