Теорема Гильберта о нулях
Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как «теорема о нулях») — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.
Данная теорема связывает понятие алгебраического множества с понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем. Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313—373) и названа в его честь.
Формулировка
[править | править код]Пусть — произвольное поле (например, поле рациональных чисел), — алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим — кольцо многочленов от переменных с коэффициентами в поле , пусть — идеал в этом кольце. Алгебраическое множество , определяемое этим идеалом, состоит из всех точек таких, что для любого . Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен зануляется на множестве , то есть если для всех , то существует натуральное число такое, что .
Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если является собственным идеалом в кольце , то не может быть пустым множеством, то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен имеет корни всюду на , следовательно, его степень принадлежит ). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича. Предположение о том, что поле является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала в не имеют общего нуля.
Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры, теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала справедлива формула
где — радикал идеала , а — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве .
Из этого следует, что операции и задают биективное, обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в и радикальными идеалами в .
Проективная версия Nullstellensatz
[править | править код]Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве, называемое проективной Nullstellensatz. Пусть , — множество однородных многочленов степени . Тогда
называется максимальным однородным идеалом. Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества и однородного идеала пусть
Напомним, что не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами , в которых , определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала верно
Литература
[править | править код]- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
- Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999. ISBN 5-900916-32-4.
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1970
- Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1968