Теорема Грина — Тао

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году[1], согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

Формулировка[править | править код]

Хотя теорема Грина-Тао известна только доказательством самого факта присутствия сколько угодно длинных прогрессий в множестве простых чисел, однако имеются[2] значительные усиления этого утверждение - во-первых, утверждение остаётся верным для произвольного множества простых чисел положительной плотности (относительно множества всех простых чисел), во-вторых имеются отдельные верхние оценки того, насколько большими могут быть элементы минимальной прогрессии в рассматриваемом множестве.

Далее в формулировках означает множество простых чисел. Запись означает , где логарифм берётся раз.

Теорема Грина-Тао

Пусть - множество простых чисел, и его плотность относительно простых строго положительна. Тогда для любого множество содержит арифметическую прогрессию длины .


В своей отдельной более ранней работе[3] Грин доказал результат, касающийся функции распределения множества , но только для частного случая трёхчленной прогрессии.

Существует константа такая, что если для множества простых чисел выполнено , то оно содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.


Поскольку требуемая функция асимптотически меньше количества простых чисел на отрезке , то теорема остаётся верна для бесконечных множеств положительной плотности, когда , . Таким образом, можно переформулировать последнюю теорему для фиксированной плотности.

Существует константа такая, что для любого множества простых чисел и его плотности будет выполнено следствие: если , то содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.


Дальнейшие работы[править | править код]

В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий[4]. Более точно, для любых заданных полиномов с целыми коэффициентами P1,…, Pk одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P1(m), …, x + Pk(m) простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k').

Численные результаты[править | править код]

18 января 2007 году Ярослав Вроблевский нашёл первый случай арифметической прогрессии из 24 простых чисел[5]:

468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 23.

Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, меньших 23 (см. примориал).

17 мая 2008 Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:

6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 24.

12 апреля 2010 Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел:

43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 25 (последовательность A204189 в OEIS).

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]