Теорема Гёделя о компактности

Теорема Гёделя о компактности утверждает, что набор из предложений в логике первого порядка имеет модель, тогда и только тогда, когда каждое конечное подмножество предложений имеет модель.

Эта теорема является важным инструментом в теории моделей, так как она обеспечивает удобный метод для построения моделей для бесконечного набора предложений.

Теорема является следствием теоремы Тихонова о том, что произведение компактных пространств компактно. Кроме того, она является аналогом характеризации компактных пространств через свойство конечных пересечений.

История

Курт Гедель доказал теорему компактности для счётного числа предложений в 1930 году; несчётный случай доказан Анатолием Ивановичем Мальцевым в 1936 году.

Следствия

• Если предложение выполнено в каждом поле характеристики нуль, то оно верно во всех полях достаточно большой характеристики.
  • Действительно, пусть $\varphi$ выполнено в каждом поле характеристики нуль. Тогда его отрицание $\neg \varphi$, вместе с аксиомами поля и бесконечной последовательности предложений

$1+1=0,$

$1+1+1=0,$

$\dots$

приводят к противоречию (поскольку нет полей характеристики 0, в которых $\varphi$ не имеет места, бесконечная последовательность предложений гарантирует, что любая модель будет полем характеристики 0). Следовательно, существует конечное подмножество $A$ из этих предложений, приводящее к противоречию. Пусть $B$ содержит все предложения $A$ за исключением $\neg \varphi$. Тогда любое поле с достаточно большой характеристикой есть модель $B$, и $\neg \varphi$ вместе с $B$ не выполнима. Это означает, что $\varphi$ выполняется в каждой модели $B$. В частности, $\varphi$ выполнено в каждом поле достаточно большой характеристики.

• Если теория имеет произвольно большие конечные модели, или одну бесконечную модель, то она имеет модели сколь угодно большой мощности. (Это частный случай теоремы Лёвенгейма — Скулема).
  • Так, например, существуют нестандартные модели арифметики Пеано с несчётным числом натуральных чисел.
  • Доказательство. Пусть М есть модель исходной теории. Добавим к языку один символ для каждого элемента множества T большой мощности. Затем добавим набор предложений, которые говорят, что все эти символы различны. Поскольку для каждого конечного подмножества этой новой теории есть модель, то есть модель и для самой теории.

• Построение нестандартной модели вещественных чисел, то есть, расширения теории вещественных чисел, содержащего «бесконечно малые».
  • Пусть Σ есть аксиоматизация теории вещественных чисел первого порядка. Рассмотрим теорию, полученную путем добавления новой константы ε к языку и предложениями ε > 0 и ε < 1/n для всех натуральных чисел n. Очевидно, что стандартные вещественные числа являются моделью для любого конечного подмножества из этих аксиом. По теореме компактности существует модель удовлетворяющая всем предложениям. То есть модель с бесконечно малым числом ε.

О доказательствах

Теорема следует из теоремы Гёделя о полноте. Гедель доказал теорему компактности изначально именно так. Позже были найдены «чисто семантические» доказательства. Одно из этих доказательств опирается на ультрапределы.

Ссылки

• Boolos, George; Jeffrey, Richard; Burgess, John. Computability and Logic. — fourth. — Cambridge University Press, 2004.
• Chang, C.C.; Keisler, H. Jerome. Model Theory. — third. — Elsevier, 1989. — ISBN 0-7204-0692-7.
• Dawson, John W. junior. The compactness of first-order logic: From Gödel to Lindström (англ.) // History and Philosophy of Logic : journal. — 1993. — Vol. 14. — P. 15—37. — doi:10.1080/01445349308837208.
• Hodges, Wilfrid. Model theory. — Cambridge University Press, 1993. — ISBN 0-521-30442-3.
• Marker, David. Model Theory: An Introduction. — Springer, 2002. — ISBN 0-387-98760-6.
• Truss, John K. Foundations of Mathematical Analysis (англ.). — Oxford University Press, 1997. — ISBN 0-19-853375-6.