Теорема Егорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть дано пространство с конечной мерой так, что , и определённая на нём последовательность измеримых функций , сходящаяся почти всюду к . Тогда такое, что , и последовательность равномерно сходится к на .

Замечания[править | править вики-текст]

  • Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
  • Конечность принципиальна. Пусть, например, , где борелева σ-алгебра на , а мера Лебега. Заметим, что . Пусть , где обозначает индикатор-функцию множества . Тогда сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]