Теорема Кантора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Кантора — классическое утверждение теории множеств. Доказано Георгом Кантором в 1891 году. Утверждает, что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств .

Доказательство[править | править код]

Предположим, что существует множество , равномощное множеству всех своих подмножеств , то есть, что существует такая биекция , ставящая в соответствие каждому элементу множества некоторое подмножество множества .

Рассмотрим множество , состоящее из всех элементов , не принадлежащих своим образам при отображении [1]:

.

Отображение биективно, а , поэтому существует такой, что .

Теперь посмотрим, может ли принадлежать . Если , то , а тогда, по определению , . И наоборот, если , то , а следовательно, . В любом случае, получаем противоречие.

Следовательно, исходное предположение ложно и не равномощно . Таким образом доказана строгость неравенства.

Для определения знака неравенства, построим сюръективное отображение g: , сопоставляющее каждому подмножеству , состоящему из единственного элемента, этот самый элемент из . В остались множества (состоящие из более чем одного элемента). Отсюда можно сделать вывод, что .

Примечания[править | править код]

  1. Оно существует по аксиоме выделения, значение есть подмножество А.

Ссылки[править | править код]

См. также[править | править код]