Теорема Каратеодори о продолжении меры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная (счётно-аддитивная) мера на некотором кольце подмножеств множества может быть продлена на σ-кольцо, порожденное кольцом . В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы в частности вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.

Утверждение[править | править вики-текст]

Пусть — кольцо на множестве и  — мера на . Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера , такая, что является продолжением . (То есть, ).

Здесь  — -кольцо, порожденное .

Если мера σ-конечна, то является единственной и также σ-конечной.

Полукольцо[править | править вики-текст]

В более общем виде такое продолжение существует для меры, заданной на полукольце, то есть семьи подмножеств, удовлетворяющих условиям:

  • Для всех , также
  • Для всех , существуют такие попарно непересекающиеся множества , где , что .

Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо порождает кольцо, элементами которого являются:

Также мера, заданная на полукольце, распространяется на все кольцо:

, где , .

Построение продолжения[править | править вики-текст]

Пусть  — мера, определенная на кольце подмножеств множества .

Тогда можно определить  — функцию, определенную на так:

Данная функция является внешней мерой, порожденной мерой . Обозначим семью подмножеств множества , для которых выполняется: Для всех , .

Тогда является σ-кольцом, и на нем можно определить меру для всех . Определенная таким образом функция является мерой, которая совпадает с на множествах кольца . Также содержит σ-алгебру и сужение на элементы и будет необходимым расширением меры.

σ-кольцо является пополнением кольца , соответственно, они совпадают, если определенная мера на является полной.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Если на действительной прямой взять полукольцо интервалов , где мера равна (b-a), то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах . Множеству здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.
  • Условие σ-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве всех рациональных чисел промежутка [0 , 1] можно задать полукольцо рациональных чисел промежутка [a, b), где a < b — рациональные числа из промежутка [0 , 1]. σ-кольцо, порожденное этим полукольцом, является множеством всех подмножеств . Задав теперь , равное количеству элементов A и , имеем, что обе меры совпадают на полукольце и порожденном кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются безграничными, то обе меры на всех этих множествах равны ), но не совпадают на порожденном σ-кольце. То есть в данном случае продолжение не является единственным.

Литература[править | править вики-текст]

  • Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
  • Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989