Теорема Карно (термодинамика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Карно — теорема о коэффициенте полезного действия (КПД) тепловых двигателей. Согласно этой теореме, КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и конструкции теплового двигателя и является функцией температур нагревателя и холодильника[1].

История[править | править исходный текст]

В 1824 году Сади Карно пришел к выводу: «Движущая сила тепла не зависит от агентов, взятых для её развития; её количество исключительно определяется температурами тел, между которыми, в конечном счете, производится перенос теплорода»

Логика рассуждений Карно была такова: «…можно с достаточным основанием сравнить движущую силу тепла с силой падающей воды: обе имеют максимум, который нельзя превзойти, какая бы ни была бы в одном случае машина для использования действия воды, и в другом — вещество, употребленное для развития силы тепла

Движущая сила падающей воды зависит от высоты падения и количества воды; движущая сила тепла также зависит от количества употребленного теплорода и зависит от того, что можно назвать и что мы на самом деле и будем называть высотой его падения, — то есть от разности температур тел, между которыми происходит обмен теплорода. При падении воды движущая сила строго пропорциональна разности уровней в верхнем и нижнем резервуаре. При падении теплорода движущая сила без сомнения возрастает с разностью температур между горячим и холодным телами…».

Некоторые современные авторы (К. В. Глаголев , А. Н. Морозов из МГТУ им. Н. Э. Баумана) говорят уже о двух теоремах Карно, цитата: «Приведенные выше рассуждения позволяют перейти к формулировке первой и второй теорем Карно. Их можно сформулировать в виде двух следующих утверждений:

1. Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника: \,\!\eta = 1 - F(T_H,T_X)

2. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников: \,\!\eta_n < \!\eta_o»

Другие авторы (например, Б. М. Яворский и Ю. А. Селезнев) указывают на три аспекта одной теоремы Карно, цитата (см. стр. 151—152.):

«3°. Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя T_H и холодильника T_X:

\,\!\eta_k = \frac{T_H-T_X}{T_H} = 1 - \frac{T_X}{T_H}

\,\!\eta_k < 1, ибо практически невозможно осуществить условие T_H \rightarrow\infty и теоретически невозможно осуществить холодильник, у которого : T_X = 0.

4°. Термический к.п.д. \,\!\eta_o произвольного обратимого цикла не может превышать термический к.п.д. обратимого цикла Карно, осуществленного между теми же температурами T_H и T_X нагревателя и холодильника:

\,\!\eta_o < \frac{T_H-T_X}{T_H}.

5°. Термический к.п.д. \,\!\eta_n произвольного необратимого цикла всегда меньше термического к.п.д. обратимого цикла Карно, проведенного между температурами T_H и T_X:

\,\!\eta_n < \frac{T_H-T_X}{T_H}.

Пункты 3° — 5° составляют содержание теоремы Карно.»

Доказательства теоремы Карно[править | править исходный текст]

Существует несколько различных доказательств этой теоремы.

Доказательство Сади Карно[править | править исходный текст]

…В различных положениях поршень испытывает давления более или менее значительные со стороны воздуха, находящегося в цилиндре; упругая сила воздуха меняется как от изменения объёма, так и от изменения температуры, но необходимо заметить, что при равных объёмах, то есть для подобных положений поршня, при разрежении температура будет более высокой, чем при сжатии. Поэтому в первом случае упругая сила воздуха будет больше, а отсюда движущая сила, произведенная движением от расширения, будет больше, чем сила, нужная для сжатия. Таким образом, получится излишек движущей силы, излишек, который можно на что-нибудь употребить. Воздух послужит нам тепловой машиной; мы употребили его даже наиболее выгодным образом, так как не происходило ни одного бесполезного восстановления равновесия теплорода.

Современное доказательство[править | править исходный текст]

Одно из доказательств представлено в книге Д. тер Хаара и Г. Вергеланда «Элементарная термодинамика».

Один из возможных вариантов теоретического цикла Карно

«Процесс D-E. (см. рис). Поскольку газ идеальный, (dU/dV)_T = 0 и внутренняя энергия остается постоянной. Все тепло, полученное от резервуара при температуре T_H, превращается во внешнюю работу:

Q_{D-E} = \int\limits_{ik}^{cd}p {dV} = RT_H \ln\frac{V_{cd}}{V_{ik}}. [1]

Процесс В-C. Подобным же образом, работа, совершенная при сжатии, превращается в тепло, которое передается холодному резервуару:

Q_{B-C} = \int\limits_{gh}^{ef}p {dV} = RT_X \ln\frac{V_{ef}}{V_{gh}}. [2]

Процессы E-B и C-D. Поскольку газ идеальный и U зависит только от температуры T, из уравнения Q = U_2 - U_1 + A следует, что работа, совершаемая в одном из этих двух адиабатических процессов, полностью компенсирует работу, совершаемую в другом процессе. Действительно, пользуясь адиабатическим условием C_VdT + p dV = 0, получаем:

C_V(T_H - T_X) = \int\limits_{cd}^{gh} p dV = -\int\limits_{ef}^{ik} p dV.

Чтобы найти связь между V_{ik}, V_{cd}, V_{gh} и V_{ef}, заметим, что, согласно уравнению Пуассона TV^{R/C_V}= const, в адиабатических процессах:

(E → B):T_HV_{cd}^{x-1}= T_XV_{gh}^{x-1}

(C → D):T_XV_{ef}^{x-1}= T_HV_{ik}^{x-1}

и, следовательно,

\frac{V_{cd}}{V_{ik}} = \frac{V_{gh}}{V_{ef}}.

Подставляя это соотношение в уравнения [1] и [2], получаем:

\frac{Q_{B-C}}{Q_{D-E}} = \frac{T_H}{T_X}.

В то же время мы приходим к результату… что КПД оптимального цикла равен

\,\!\eta_{max} = \frac{T_H-T_X}{T_H}

Литература[править | править исходный текст]

  • S. Carnot Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. — Paris, Gautier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878.
  • Карно Николя Леонар Сади, Перевод В.Р. Бурсиана и Ю.А. Круткова. Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу.
  • Д. Тер Хаар, Г. Вергеланд Элементарная термодинамика. Перевод с английского И. Б. Виханского. Под редакцией Н.М. Плакиды.(D. TER HAAR, Oxford University, H. WERGELAND, Norwegian Institute of Technology, Trondheim. ELEMENTS OF THERMODYNAMICS. Addison-Wesley Publishing Company). — М.: Издательство «Мир», 1968.
  • Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. Для студентов и инженеров вузов. Издание седьмое, исправленное. — М.: Издательство «Наука», 1979.
  • Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика. — М.: Издательство МГТУ им Н.Э.Баумана, 2004.
  • Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Физика. Справочное руководство: Для поступающих в вузы. – 5-е изд., переработанное.. — М.: Физматлит, 2004.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Теорема Карно//Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.

Ссылки[править | править исходный текст]