Теорема Колмогорова о трёх рядах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Колмогорова о трёх рядах, названная в честь Андрея Колмогорова, в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин через сходимость рядов, связанных с их распределениями вероятностей. Теорема Колмогорова о трёх рядах в сочетании с леммой Кронекера может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть  — некоторая константа. Тогда

 — индикатор на множестве значений случайной величины.

Формулировка теоремы[править | править вики-текст]

Пусть  — последовательность независимых случайных величин. Для сходимости с вероятностью единица ряда необходимо, чтобы для любого сходились ряды

и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором .

Доказательство[править | править вики-текст]

Достаточность[править | править вики-текст]

По теореме о двух рядах ряд сходится с вероятностью единица. Но если , то по лемме Бореля — Кантелли с вероятностью единица , а значит, для всех , за исключением, быть может, конечного числа. Поэтому ряд также сходится.

Необходимость[править | править вики-текст]

Если ряд сходится, то и, значит, для всякого может произойти не более конечного числа событий . Поэтому и по второй части леммы Бореля — Кантелли . Далее, из сходимости ряда следует и сходимость ряда . Поэтому по теореме о двух рядах каждый из рядов и сходится.

Следствие[править | править вики-текст]

Пусть  — независимые случайные величины с . Тогда, если

то ряд сходится с вероятностью единица.

Пример[править | править вики-текст]

В качестве примера рассмотрим случайный гармонический ряд:

где «» означает, что знак каждого члена выбран случайно, независимо, и с вероятностями , . Выбрав в качестве ряд, членами которого являются и с равными вероятностями, легко убедиться, что он удовлетворяет условиям теоремы и сходится с вероятностью единица. C другой стороны, аналогичный ряд обратных квадратных корней со случайными знаками:

расходится с вероятностью единица, так как ряд расходится.

Литература[править | править вики-текст]

  • Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)

Ссылки[править | править вики-текст]