Теорема Коши о многогранниках

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Коши о многогранниках утверждает, что грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.

Формулировка[править | править вики-текст]

Два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если между их гранями, рёбрами и вершинами имеется сохраняющее инцидентность взаимно однозначное соответствие, причём соответствующие грани многогранников конгруэнтны.

История[править | править вики-текст]

Вопрос о том, что грани многогранника вместе с правилами склейки полностью определяют выпуклый многогранник был сформулирован Лежандром в 1-м издании его учебника.[1] Там же была дана ключевая лемма, которая использовалась Коши в его доказательстве.[2] Это доказательство содержало ошибку, которая была замечена Штейницем и исправлена только в 1934[3].

Связанные результаты[править | править вики-текст]

  • Аналогичный результат верен в пространствах всех размерностей начиная с 3.
  • Для невыпуклых многогранников аналогичный результат неверен.
    • Более того, существует невыпуклый многогранник, который допускает непрерывные деформации в классе многогранников с конгруэнтными гранями. Такой многогранник называется изгибаемым. Однако, согласно теореме Сабитова, объём такого многогранника в процессе деформаций будет оставаться неизменным.
  • Условие конгруэнтности граней можно ослабить до условия изометричности внутренней метрики поверхности многогранника (теорема Александрова (англ.)).
    • Более того, то же верно для любой замкнутой выпуклой поверхности (теорема Погорелова).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Legendre, A. M. "Elements de ge'omktrie." Paris, 1794. Note XII. P. 321–334.
  2. Cauchy A. L. Sur les polygones et poly`edres, Second m ́emoire // J. de l’E cole Polyth ́echnique. 1813. V. 9. P. 87–98
  3. Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934.

Литература[править | править вики-текст]