Теорема Коши — Ковалевской

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.

Формулировка[править | править вики-текст]

Рассмотрим пространство . Точку пространства будем обозначать через , а точку, принадлежащую , через . Обозначим оператор частного дифференцирования . Предположим, что коэффициенты оператора определены в окрестности начала координат в пространствне переменных и являются аналитическими функциями. Пусть функция также аналитична в . Пусть вектор начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат  — пространства. Тогда существуют окрестность начала координат и единственная аналитическая функция , определённая в , для которой

Доказательство[править | править вики-текст]

Положим . Тогда из вытекает, что . Поэтому, не теряя общности, можно предположить, что начальные данные для равны нулю. Перепишем в виде , где  — полином по степени , коэффициенты которого аналитичны в окрестности начала координат. Легко видеть, что коэффициенты разложения в ряд Тейлора определяются однозначно уравнением и начальными условиями. Дальше доказывается сходимость ряда .

Для доказательства сходимости ряда используются мажорантные ряды и полиномы. Функция называется мажорантным рядом для в начале координат, если она является аналитической в этой точке и коэффициенты её разложения в ряд Тейлора больше или равны абсолютным значениям соответствующих коэффициентов разложения функции в ряд Тейлора, то есть .

История[править | править вики-текст]

Теорема была представлена С.В. Ковалевской в Геттингенский университет вместе с двумя другими работами в качестве докторской диссертации в 1874 году.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]