Теорема Крылова — Боголюбова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов

Теорема доказана математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым.[1][2] (переиздано в[3]).

Динамическая формулировка[править | править вики-текст]

Пусть  — непрерывное отображение метрического компакта в себя. Тогда на существует -инвариантная мера .

Замечания[править | править вики-текст]

  • Условие -инвариантности, , означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,
при этом в случае необратимого отображения мера не обязана равняться мере .
  • Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности , однако мера дуги не равна мере её образа, дуги .

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство теоремы опирается на так называемую процедуру Крылова — Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера , и рассматривается последовательность её временных средних:

Временные средние являются всё более и более -инвариантными:

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения . Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности найдётся — что и завершает доказательство.


Замечания[править | править вики-текст]

  • В случае, если в качестве меры берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности соответствует существованию меры Синая — Рюэлля — Боуэна.

Формулировка для марковских процессов[править | править вики-текст]

Пусть X — польское пространство и пусть (Pt) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, то есть

Если существует , для которого семейство вероятностных мер { Pt(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (Pt) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (Pt), то есть такая вероятностная мера μ на X, что

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1937): «Общая теория меры в нелинейной механике». — Киев.
  2. N. N. Bogoliubov and N. M. Krylov (1937). «La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire» (French). Ann. Math. II 38: 65—113. Zbl. 16.86.
  3. «Николай Николаевич Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. РАН. Том 1: Математика». — М.: Наука, 2005. ISBN 5-02-034463-X.