Теорема Кэли о числе деревьев

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Полный список деревьев на 2, 3 и 4 вершинах с , и деревьями соответственно.

Теорема Кэли о числе деревьев — явное выражение для числа деревьев с данным числом пронумерованных вершин.

История[править | править код]

Теорема названна в честь Артура Кэли, который доказал её в 1889 году.[1] Сам Кэли признавал, что то же утверждение было доказано раньше Карлом Борхардом и в эквивалентной формулировке ещё раньше в статье Джеймса Джозефа Сильвестра 1857 года.[2]

В своей статье Кэли посути доказывает более общее утверждение. А именно если раскрыть скобки в формуле

то коэффициент при окажется равным числу деревьев на вершинах, пронумерованных числами от до со степенями соответственно. Кэли подробно разбирает случай , и заявляет, что доказательство легко обобщается.

Формулировки[править | править код]

Две эквивалентные формулировки:

  • Число различных деревьев на вершинах, пронумерованных числами от до равно .

Связанные утверждения[править | править код]

  • Количество деревьев на пронумерованных вершинах оказывается также равным числу разложений -цикла в произведение транспозиции.
  • Количество деревьев на пронумерованных вершинах оказывается также равным числу (соответствующим образом нормированных) многочленов степени с заданными критическими значениями общего положения.

О доказательствах[править | править код]

  • Формула Кэли немедленно следует из свойств кода Прюфера — способа однозначного кодирования -вершинного помеченного дерева упорядоченной последовательностью из номеров его вершин.
  • Одно из доказательств строится на следующем соотношении
на экспоненциальную производящую функцию
где обозначает число корневых деревьев на данных вершинах. По теореме Лагранжа об обращении рядов, из этого соотношения следует, что , что немедленно влечёт формулу Кэли.[3]

Вариации и обобщения[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Cayley A. A theorem on trees. Quart. J. Pure Appl. Math., 23 (1889), 376–378; Collected Mathematical Papers, Vol. 13, Cambridge University Press, 1897, 26–28.
  2. Biggs N. L., Lloyd E. K., Wilson R. J. Graph Theory 1736-1936. Clarendon Press, Oxford, 1976.
  3. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — Мир, 1977.

Литература[править | править код]