Теорема Кэли (теория групп)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории групп теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент сопоставляется с перестановкой , задаваемой тождеством где g — произвольный элемент группы G.

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим группу , с заданной операцией + . Найдём её отображение в , то есть найдём подгруппу изоморфную .

Определим отображение

Построение это не случайное. Для примера рассмотрим . Как мы знаем куда перейдёт, скажем, число 2? Очень просто это сумма (операция группы ) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы для которого мы определяем перестановку). Таким образом, к примеру, задаёт тождественное отображение . В самом деле, по вышеприведённом правилу сложения, для того чтобы определить куда переходит элемент g, нужно сделать операцию , то есть получим , то есть нижняя строчка перестановки идентична верхней.

Если посмотреть внимательней на это построение мы увидим следующую картину. Перестановка задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 0. Перестановка задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 1. задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 2. задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 3. Таким образом мы получили полную таблицу сложения группы .

Обратите внимание, отображение является гомоморфизмом. К примеру, . Из свойств гомоморфизма в частности следует, что множество полученных перестановок формируют группу.

Доказательство теоремы[править | править вики-текст]

Пусть конечная группа порядка . Нужно построить изоморфизм с G в подгруппу перестановок . Для этого достаточно сопоставить каждому элементу g в группе G перестановку элементов самой G (можно идентифицировать перестановку G с перестановкой любого другого множества при помощи взаимно-однозначного соответствия их элементов). Другими словами, нужно построить функцию , где является собранием перестановок G. Группу определяем с помощью умножения слева (в примере приведённом выше это была операция сложения в ).

Докажем, что мы получили перестановку. Если , то , так как G группа, в частности все её элементы обратимы (существует ). Кроме того, действие на элемент группы x равняется и это равняется в виду ассоциативности G. Наконец, если то тогда и поэтому является инъективной (1-1).

Литература[править | править вики-текст]

  • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
  • Александров П.С. Введение в теорию групп. Библиотечка «Квант». Вып. 7. М.: Наука, 1980.