Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов — утверждение о том, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Утверждение теоремы впервые появилось в «Арифметике» Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа; Лагранж доказал теорему в 1770 году.

Теорема является решением проблемы Варинга для степени $n=2$. Поскольку числа вида $4^{m}(8n+7),$ где ${\overline {m,n}}={\overline {0,1,2,\;\ldots }}$, непредставимы суммой трёх квадратов согласно теореме Лежандра о трёх квадратах, то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди $G(2)=4$.

Существует конструктивное доказательство — алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа $N$ с помощью $O(N^{2}\log _{2}{N})$ арифметических операций. Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионов.

Примеры:

$3=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}$

$31=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}$

$310=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}$

$9=3^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}$