Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов — утверждение о том, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Утверждение теоремы впервые появилось в «Арифметике» Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа[1]; Лагранж доказал теорему в 1770 году.

Теорема является решением проблемы Варинга для степени . Поскольку числа вида где , непредставимы суммой трёх квадратов согласно теореме Лежандра о трёх квадратах[1], то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди .

Существует конструктивное доказательство — алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа с помощью арифметических операций[2]. Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионов[3].

Примеры:

Примечания[править | править код]