Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть фиксировано пространство с мерой . Предположим, что и  — измеримые функции на , причём почти всюду. Тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая функция , такая что почти всюду, то функции интегрируемы и

Замечание[править | править вики-текст]

Условие мажорированности последовательности интегрируемой функцией принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть , где  — борелевская -алгебра на , а  — мера Лебега на том же пространстве. Определим

Тогда последовательность не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

Приложение к теории вероятностей[править | править вики-текст]

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина , такая что почти наверное. Тогда случайные величины интегрируемы и

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]