Теорема Леви о непрерывности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Леви́ в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины , где , символом . Тогда если по распределению при , и — характеристическая функция , то

.

Обратно, если , где — функция действительного аргумента, непрерывная в нуле, то является характеристической функцией некоторой случайной величины , и

по распределению при .

Замечание[править | править вики-текст]

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если , где — характеристическая функция , и — характеристическая функция , то по распределению при . Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.

См. также[править | править вики-текст]