Теорема Лежандра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Лежандра — утверждение об условиях существования решений для некоторого подкласса квадратичных диофантовых уравнений, установленное Лежандром в 1785 году.

Формулировка[править | править вики-текст]

Уравнение

у которого не все коэффициенты одного знака и  — попарно взаимно простые числа, имеет нетривиальное решение в целых числах тогда и только тогда, когда:

  •  — квадратичный вычет по модулю ,
  •  — квадратичный вычет по модулю ,
  •  — квадратичный вычет по модулю .

О доказательстве[править | править вики-текст]

Необходимость этих условий очевидна, достаточность следует из теоремы Минковского — Хассе для квадратичных форм: квадратичная форма представляет нуль в тогда и только тогда, когда она представляет нуль в и во всех полях -адических чисел . Для разрешимости в нужны разные знаки, для разрешимости в для  — вышеприведённые симметричные соотношения.

Литература[править | править вики-текст]

  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985. — С. 77-80. — 504 с.