Теорема Лежандра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Лежандра — утверждение об условиях существования решений для некоторого подкласса квадратичных диофантовых уравнений, установленное Лежандром в 1785 году.

Формулировка[править | править вики-текст]

Уравнение

aX^2+bY^2+cZ^2=0,

у которого не все коэффициенты одного знака и a,b,c — попарно взаимно простые числа, имеет нетривиальное решение в целых числах (X,Y,Z) тогда и только тогда, когда:

  • -ab — квадратичный вычет по модулю c,
  • -bc — квадратичный вычет по модулю a,
  • -ca — квадратичный вычет по модулю b.

О доказательстве[править | править вики-текст]

Необходимость этих условий очевидна, достаточность следует из теоремы Минковского — Хассе для квадратичных форм: квадратичная форма представляет нуль в \mathbb{Q} тогда и только тогда, когда она представляет нуль в \mathbb{R} и во всех полях p-адических чисел \mathbb{Q}_p. Для разрешимости в \mathbb{R} нужны разные знаки, для разрешимости в \mathbb{Q}_p для p\mid abc — вышеприведённые симметричные соотношения.

Литература[править | править вики-текст]

  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985. — С. 77-80. — 504 с.