Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лиувилля.

Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если  — алгебраическое число степени , а и  — любые целые числа , то имеет место неравенство

где  — положительная константа, зависящая только от и выражаемая в явном виде через сопряженные с величины.

С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например

Обобщения[править | править код]

При теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.

В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел степени и справедливо неравенство

    (*)

Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при

, где  — целое,

в частности, при . Позже Ф. Дайсон доказал справедливость этого неравенства при . Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом . Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число , алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений , удовлетворяющих неравенству

.

Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная в неравенстве зависит от величин и .

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]