Теорема Лузина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Лу́зина утверждает, что любая борелевская функция на множестве конечной меры является непрерывной на некотором подмножестве, мера которого сколь угодно близка к мере всего множества.

Доказательство теоремы Лузина может быть получено с помощью теоремы Егорова.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть f:D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} есть борелевская функция (измеримая на прямой по Лебегу), и m(D) < \infty, где m есть мера Лебега на \mathbb{R}. Тогда \forall \varepsilon > 0,\; \exists D_{\varepsilon} \subset D, такое что m(D \setminus D_{\varepsilon}) < \varepsilon и \left.f\right\vert_{D_{\varepsilon}} \in C(D_{\varepsilon}), то есть сужение функции f на D_{\varepsilon} непрерывно.

Литература[править | править исходный текст]