Теорема Люка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике теоремой Люка́ называется следующее утверждение об остатке от деления биномиального коэффициента на простое число p:

где и  — представления чисел m и n в p-ричной системе счисления.

В частности, биномиальный коэффициент делится на простое число p нацело тогда и только тогда, когда хотя бы одна p-ричная цифра числа n превышает соответствующую цифру числа m.

Теорема была впервые выведена французским математиком Эдуардом Люка в 1878 году.

Доказательство[править | править вики-текст]

Рассмотрим коэффициент при в многочлене над конечным полем . С одной стороны, он попросту равен . С другой стороны, так как

то, чтобы из последнего произведения получить коэффициент при , нужно из нулевого сомножителя взять коэффициент при , из первого — коэффициент при , a в общем случае из -го сомножителя — коэффициент при . Приравнивая коэффициенты, получаем

Литература[править | править вики-текст]