Теорема Менелая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка[править | править вики-текст]

Teorema menelaya.gif

Если точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

где , и обозначают отношения направленных отрезков.


В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:


Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Тригонометрический эквивалент:
, где все углы — ориентированные.
  • В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид
  • В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид

  • Теорема Менелая является следствием следующей теоремы:

Теорема (Дубовик[источник не указан 1992 дня]): Рассмотрим на комплексной плоскости положительно ориентированный ΔАВС (обход по его вершинам осуществляется против часовой стрелки). Пусть ,, - комплексные числа, причём . Рассмотрим точки плоскости А1, В1, С1 с комплексными координатами:

Точки А1, В1, С1 коллинеарны тогда и только тогда, когда число .

Действительность одного из чисел ,, , в данной теореме, влечёт действительность двух других. Тогда точки А1, В1, С1 лежат на прямых АС, АВ и ВС соответственно и мы получаем теорему Менелая.

История[править | править вики-текст]

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (ок. 100 г. н. э.). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.

Применения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки

Ссылки[править | править вики-текст]