Теорема Менелая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — это классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка

Teorema menelaya.gif

Если точки A',B' и C' лежат соответственно на сторонах BC,CA и AB треугольника \triangle ABC или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.

где \frac{AB'}{B'C}, \frac{CA'}{A'B} и \frac{BC'}{C'A} обозначают отношения направленных отрезков.


В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:

\frac{|AB'|}{|B'C|}\cdot\frac{|CA'|}{|A'B|}\cdot\frac{|BC'|}{|C'A|}=1.

Вариации и обобщения

  • Тригонометрический эквивалент:
\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC} \cdot \frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA} \cdot \frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}=-1, где все углы — ориентированные.
  • В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид
\frac{\sin |AB'|}{\sin |B'C|}\cdot\frac{\sin |CA'|}{\sin |A'B|}\cdot\frac{\sin |BC'|}{\sin |C'A|} = 1.
  • В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид
\frac{\operatorname{sh} |AB'|}{\operatorname{sh} |B'C|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |CA'|}{\operatorname{sh} |A'B|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |BC'|}{\operatorname{sh} |C'A|} = 1.
  • Теорема Менелая является следствием следующей теоремы:

Теорема (Дубовик[источник не указан 1798 дней]): Рассмотрим на комплексной плоскости положительно ориентированный ΔАВС (обход по его вершинам осуществляется против часовой стрелки). Пусть z_1,z_2, z_3 - комплексные числа, причём \frac{z_1z_2z_3}{(z_1-1)(z_2-1)(z_3-1)}=1. Рассмотрим точки плоскости А1, В1, С1 с комплексными координатами:

\begin{cases} a_1=(a-c)z_1+c; \\ 
b_1=(b-a)z_2+a; \\
c_1=(c-b)z_3+b.\end{cases}

Точки А1, В1, С1 коллинеарны тогда и только тогда, когда число \frac{z_1}{1-z_2}\in R.

Действительность одного из чисел z_1,z_2, z_3, в данной теореме, влечёт действительность двух других. Тогда точки А1, В1, С1 лежат на прямых АС, АВ и ВС соответственно и мы получаем теорему Менелая.

История

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (ок. 100 г. н. э.). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.

Применения

См. также

Примечания

  1. на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки

Ссылки