Теорема Минковского о выпуклом теле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Минковского о выпуклом теле — одна из теорем геометрии чисел, послужившая основой выделения геометрии чисел в раздел теории чисел. Установлена Германом Минковским в 1896.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть  — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно начала координат , -мерного евклидова пространства, имеющее объём . Тогда в найдётся целочисленная точка, отличная от .

Доказательство[править | править вики-текст]

Ниже приведено доказательство теоремы Минковского для частного случая L = ℤ2. Оно может быть обобщено на произвольную размерность.

Рассмотрим отображение

Интуитивно, это отображение нарезает тело на квадраты размером 2 на 2, которые накладывает один поверх другого. Очевидно, что площадь f(S) ≤ 4. Если бы отображение f было инъективно, то части S, вырезанные квадратами, совмещались бы без перекрытия. Так как f сохраняет локальные площади фрагментов, то это свойство непересечения сделало бы отображение f сохраняющим площадь всего S, так что площадь f(S) была бы такой же, как у S - численно больше 4. Раз это не так, то f не инъективно, а следовательно, f(p1) = f(p2) для некоей пары точек p1, p2S. Более того, по определению f мы знаем, что p2 = p1 + (2i, 2j) для неких целочисленных i и j, где хотя бы одно из них не равно нулю.

Тогда, так как S симметрично относительно начала координат, p1 также входит в S. Так как S выпукло, то отрезок между p1 и p2 полностью лежит в S. Середина этого отрезка

лежит в S. (i,j) является целочисленной точкой и не является началом координат (i и j не могут оба быть равными нулю). Таким образом, мы нашли искомую точку.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]