Теорема Мореры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Если функция комплексного переменного в области непрерывна и интеграл от неё по любому замкнутому спрямляемому контуру равен нулю, то есть

то  — аналитическая функция в .

Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области .

Идея доказательства[править | править вики-текст]

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в , т. е. существует такая функция , что

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная также будет аналитической.

Применение[править | править вики-текст]

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность аналитичных функций равномерно сходится к функции , то

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

и гамма-функции Эйлера

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.

История[править | править вики-текст]

Эта теорема была получена итальянским математиком Джиачинто Морерой (итал.) в 1886 году.

Литература[править | править вики-текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.

Ссылки[править | править вики-текст]