Теорема Мореры

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Если функция $f(z)$ комплексного переменного $z$ в области $D$ непрерывна, и интеграл от неё по любому замкнутому спрямляемому контуру $\Gamma \subset D$ равен нулю, то есть $\oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=0,$ то $f(z)$ — аналитическая функция в $D$.

Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области $D$.

Идея доказательства

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в $D$, т. е. существует такая функция $F(z)$, что

${\frac {dF(z)}{dz}}=f(z).$

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная $f$ также будет аналитической.

Применение

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность $f_{n}$ аналитичных функций равномерно сходится к функции $f$, то

$\oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)\,dz=0,$

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

и гамма-функции Эйлера

$\Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}\,dt.$

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.

История

Эта теорема была получена итальянским математиком Джиачинто Морерой в 1886 году.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Morera’s Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.