Теорема Ньютона — Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Формула Ньютона — Лейбница, или основная теорема анализа, даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Формулировка

Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид.

Если функция $\textstyle f(x)$ непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$ и $\textstyle \Phi (x)$ — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |}_{a}^{b}$

Доказательство

Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$ задана интегрируемая функция $\textstyle f$.

Зададим произвольное значение $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ и определим новую функцию $\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$. Она определена для всех значений $\textstyle x\in \left[a,b\right]$, потому что мы знаем, что если существует интеграл от $\textstyle f$ на $\left[a,b\right]$, то существует также интеграл от $\textstyle f$ на $\left[a,x\right]$, где $a\leqslant x\leqslant b$. Напомним, что мы считаем по определению

$F(a)=\int \limits _{a}^{a}f(t)\,dt=0$ (1)

Заметим, что

$F(b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$

Покажем, что $\textstyle F$ непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$. В самом деле, пусть $x,x+h\in \left[a,b\right]$; тогда

$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{(x+h)}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{(x+h)}f(t)\,dt$

и если $K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b$, то

$|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{(x+h)}f(t)\,dt{\bigg |}\leqslant K|h|\to 0,h\to 0$

Таким образом, $\textstyle F$ непрерывна на $\left[a,b\right]$ независимо от того, имеет или не имеет $\textstyle f$ разрывы; важно, что $\textstyle f$ интегрируема на $\left[a,b\right]$.

На рисунке изображён график $\textstyle f$. Площадь переменной фигуры $\textstyle aABx$ равна $\textstyle F(x)$. Её приращение $\textstyle F(x+h)-F(x)$ равно площади фигуры $\textstyle xBC(x+h)$, которая в силу ограниченности $\textstyle f$, очевидно, стремится к нулю при $h\to 0$ независимо от того, будет ли $\textstyle x$ точкой непрерывности или разрыва $\textstyle f$, например точкой $\textstyle x-d$.

Пусть теперь функция $\textstyle f$ не только интегрируема на $\left[a,x\right]$, но непрерывна в точке $x\in \left[a,x\right]$. Докажем, что тогда $\textstyle F$ имеет в этой точке производную, равную

$\textstyle F'(x)=f(x)$ (2)

В самом деле, для указанной точки $\textstyle x$

${\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f(t)\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}(f(x)+\eta (t))\,dt$ $={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt=f(x)+o$ (1) ,$h\to 0$ (3)

Мы положили $\textstyle f(t)=f(x)+\eta (t)$, а так как $\textstyle f(x)$ постоянная относительно $\textstyle t$, то $\textstyle \int \limits _{x}^{x+h}f(x)\,dt=f(x)h$. Далее, в силу непрерывности $\textstyle f$ в точке $\textstyle x$ для всякого $\textstyle \varepsilon >0$ можно указать такое $\textstyle \delta$, что $\textstyle |\eta (t)|<\varepsilon$ для $\textstyle |x-t|<\delta$.

Поэтому

$\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{|h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon ,|h|<\delta$

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при $\textstyle h\to 0$.

Переход к пределу в (3) при $\textstyle h\to 0$ показывает существование производной от $\textstyle F$ в точке $\textstyle x$ и справедливость равенства (2). При $\textstyle x=a,b$ речь здесь идёт соответственно о правой и левой производной.

Если функция $\textstyle f$ непрерывна на $\left[a,b\right]$, то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ (4)

имеет производную, равную $\textstyle f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b$. Следовательно, функция $\textstyle F(x)$ есть первообразная для $\textstyle f$ на $\left[a,b\right]$.

Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом, или теоремой Барроу.

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке $\left[a,b\right]$ функция $\textstyle f$ имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.

Пусть теперь $\textstyle \Phi$ есть произвольная первообразная функции $\textstyle f(x)$ на $\left[a,b\right]$. Мы знаем, что $\textstyle \Phi (x)=F(x)+C$ , где $\textstyle C$ — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве $\textstyle x=a$ и учитывая, что $\textstyle F(a)=0$, получим $\textstyle \Phi (a)=C$.

Таким образом, $\textstyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)$. Но

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)$

Поэтому

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matrix}x=b\\\\x=a\end{matrix}}$

Однако на самом деле требование непрерывности подынтегральной функции избыточно. Для выполнения этой формулы достаточно лишь существование левой и правой частей.

Если функция $\textstyle f(x)$ интегрируема и имеет первообразную на отрезке $\left[a,b\right]$, $\textstyle \Phi (x)$ — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |}_{a}^{b}$

Непрерывность является удобным условием на практике, поскольку сразу же гарантирует и интегрируемость, и существование первообразной. В случае её отсутствия же для правильного применения требуется проверка обоих этих свойств, что иногда бывает сложным. Существуют интегрируемые функции, не имеющие первообразной (любая функция с конечным числом точек разрыва или функция Римана), и неинтегрируемые, имеющие первообразную (производная $x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}$, дополненная нулём в нуле, на любом отрезке, содержащем 0, или функция Вольтерры).

Формула может быть обобщена для случая функций с конечным числом разрывов. Для этого нужно обобщить понятие первообразной. Пусть функция $f$ определена на отрезке $[a;b]$ за исключением, возможно, конечного числа точек. Функция $F$ называется обобщённой первообразной $f$, если она:

• Непрерывна на отрезке $[a;b]$
• Во всех точках $[a;b]$, за исключением, возможно, конечного их числа, дифференцируема
• Во всех точках, где она дифференцируема, за исключением, возможно, конечного их числа, её производная равна $f$.

Это определение не требует, чтобы производная $F$ равнялась $f$ во всех точках, где $F$ дифференцируема. С этим понятием можно обобщить формулу Ньютона — Лейбница ещё сильнее.

Пусть $f$ определена на $[a;b]$ везде, за исключением, возможно, конечного числа точек. Если функция $\textstyle f(x)$ интегрируема и имеет обобщённую первообразную на отрезке $\left[a,b\right]$, $F(x)$ — любая её обобщённая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)={\Bigg .}F(x){\Bigg |}_{a}^{b}$

Доказательство

Так как функция $f$ интегрируема, можно рассмотреть любую последовательность разбиений с отмеченными точками, диаметр которых стремится к нулю. Предел интегральных сумм по ним будет равен интегралу.

Рассмотрим последовательность разбиений отрезка $[a;b]$ $\{T_{n}\}$ такую, что диаметр разбиения при $n\to +\infty$ стремится к нулю. Включим в каждое из этих разбиений также точки отрезка $[a;b]$, в которых $F$ не дифференцируема или её производная не равна $f$. С этими дополнительными точками разбиения обозначим $T_{n}'$.

Теперь зададим на них отмеченные точки. Фиксируем конкретное разбиение $T_{n}=\{a=x_{0},\ldots ,x_{n}=b\}$. Тогда, по условию, функция $F$ непрерывна на каждом из отрезков $[x_{i-1};x_{i}]$ и дифференцируема на интервалах $(x_{i-1};x_{i})$. Условия теоремы Лагранжа соблюдены и, значит, существует такая точка $\xi _{i}\in (x_{i-1};x_{i})$, что $f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{i-1})$. Эти точки $\Xi _{n}=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ возьмём в качестве отмеченных точек разбиения $T_{n}'$. Тогда интегральная сумма по такому разбиению будет равна $:\sigma (f,T_{n}',\Xi _{n})=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{2})(x_{2}-x_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=-F(x_{0})+F(x_{1})-F(x_{1})+F(x_{2})-\ldots -F(x_{n-1})+F(x_{n})=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)$ Интегральная сумма каждого из размеченных разбиений (T_n',Xi_n) равна одному и тому же значению, следовательно, и предел этих сумм будет равен этому значению, то есть

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dt=\lim _{n\to +\infty }\sigma (f,T_{n}',Xi_{n})=F(b)-F(a)$.

Приведённое доказательство интересно тем, что в нём не использовалась ни одно из свойств интеграла, кроме непосредственно его определения. Однако доказательство формулы Ньютона-Лейбница в классической формулировке оно не даёт: для этого необходимо дополнительно доказать, что любая непрерывная функция интегрируема и имеет первообразную.

Замечание. Бездумное применение формулы к функциям, не являющимся непрерывными, может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:

$\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{-1}^{1}=-1-1=-2,$ хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен.

Причина ошибки: функции $-{\frac {1}{x}}$ не является первообразной (даже обобщённой) для функции ${\frac {1}{x^{2}}}$ на отрезке $[-1;1]$ просто потому, что она не определена в нуле. Функция не имеет на этом отрезке первообразной вообще. Более того, эта функция ещё и не ограничена в окрестности нуля, и следовательно, не интегрируема по Риману.

История

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.

Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.

Значение

Основная теорема анализа устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислениями. Понятие первообразной (а значит, и понятие неопределённого интеграла) определяется через понятие производной и, таким образом, относится к дифференциальному исчислению. С другой стороны, понятие определённого интеграла Римана формализуется как предел, к которому сходится так называемая интегральная сумма. Оно независимо от понятия производной и относится к другой ветви анализа — интегральному исчислению. Формула Ньютона — Лейбница же позволяет выразить определённый интеграл через первообразную.

Интеграл Лебега

Функция $F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции $f(x)$. Функция $F(x)$ является абсолютно непрерывной.

Теорема (Лебега): $f(x)$ абсолютно непрерывна на отрезке $[a,b]$ тогда и только тогда, когда существует суммируемая на $[a,b]$ функция $g$ такая, что $f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt$ при любом значении x от a до b.

Из этой теоремы вытекает, что если функция $f$ абсолютно непрерывна на $[a,b]$, то её производная существует почти всюду, суммируема и удовлетворяет равенству:

$f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt$, где $x\in [a,b]$.

Некоторые следствия

В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу замены переменных, а также теорему о разложении монотонных функций по Лебегу.

Интегрирование по частям

Пусть $f$ и $g$ — абсолютно непрерывные функции на отрезке $[a,b]$. Тогда:

$\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{a}^{b}f(x)g'(x)dx$.

Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила Лейбница.

Вариации и обобщения

• Теорема Стокса
• Дискретная теорема Грина

См. также

• Основная теорема алгебры
• Основная теорема арифметики

Литература

• Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.