Теорема Ньютона — Лейбница

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Теорема Ньютона-Лейбница»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Формулировка[править | править код]

Если непрерывна на отрезке и  — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство


Замечание. Применение формулы к разрывной или к неограниченной функции может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:

хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен.

Причина ошибки — подынтегральная функция разрывна (и не ограничена) в нуле, поэтому формула Ньютона—Лейбница к ней неприменима.

История[править | править код]

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.

Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.

Интеграл Лебега[править | править код]

Функция представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции . Функция является абсолютно непрерывной.

Теорема (Лебег): абсолютно непрерывна на отрезке тогда и только тогда, когда существует интегрируемая на функция такая, что .

Из этой теоремы вытекает, что если абсолютно непрерывна на , то её производная существует почти всюду, интегрируема и удовлетворяет равенству[1]:

, .

Некоторые следствия[править | править код]

В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу замены переменных, а также теорему о разложении Лебега монотонных функций[1].

Интегрирование по частям[править | править код]

Пусть и - абсолютно непрерывные функции на отрезке . Тогда:

.

Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила Лейбница[1].

Вариации и обобщения[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188-197. — 724 с. — ISBN 978-5-93972-742-6.

Литература[править | править код]

  • Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
  • Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.